Définition :

Soit (U_n)_n Ïµ N est une suite géométrique si et seulement s'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout _n Ïµ N, on ait

U_n+1 = q*U_n

Si la suite (U_n)_n Ïµ N est une suite géométrique, le nombre q s'appelle la raison de cette suite.

U_n+1 = q*U_n


u_n suite géométrique ?


Autrement dit, une suite est géométrique si et seulement si chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par un nombre réel q, toujours le même.

Pour montrer qu’une suite est géométrique, il faut donc montrer qu’il existe un nombre réel non nul q indépendant de n tel que, pour tout _n Ïµ N

Autrement dit, il faut montrer que le quotient est constant :

Pour montrer qu’une suite n’est pas géométrique, il suffit de montrer que, sur les premiers termes par exemple, le quotient  n’est pas constant.


Suite géométrique

• Attention !

Pour montrer qu’une suite est géométrique, il ne suffit pas de vérifier que, le quotient est  constant sur les premiers termes de la suite.  

Il faut le montrer pout tout entier n.


Exemple




Expression du terme général en fonction de n





On a la propriété suivante :

Propriété : 

Soit (U_n)_n Ïµ N une suite géométrique de raison q


Alors,

• Pour tout n Ïµ N U_n = U₀*qⁿ
• Pour tout n Ïµ N^* U_n = U₁*q(^n-1)
• Pour tout couple (n,p) d'entiers naturels,

U_n = U_p*q(^n-p)

Signe du terme général d'une suite géométrique


Soit (U_n)_n Ïµ N une suite géométrique de raison q, où q ≠ 0.

On a u_n = u₀ x qⁿ.
 

• Si q > 0, alors u_n, est du signe de u₀.
• Si q < 0, alors u_n n'est pas de signe constant.

Les termes de la suite sont, dans ce cas, alternativement positifs et négatifs : u_n est du signe de u₀ si nest pair et u_n est de signe opposé à u₀ si n est impair.


Sens de variation d'une suite géométrique


Soit (U_n)_n Ïµ N une suite géométrique de raison q, où q ≠ 0.

Nous avons vu que si q < 0 alors u_n n'est pas de signe constant et est alternativement positif et négatif. Dans ce cas la suite (U_n)_n Ïµ N n'est donc pas monotone.

Supposons donc que q > 0.

Comme on a :

• Si q > 1 et u_n > 0, c'est à dire u₀ > 0, alors la suite (U_n)_n Ïµ N est strictement croissante.
• Si q > 1 et u_n < 0, c'est à dire u₀ < 0, alors la suite (U_n)_n Ïµ N est strictement décroissante.
• Si 0 < q < 1 et u_n > 0, c'est à dire u₀ > 0, alors la suite (U_n)_n Ïµ N est strictement décroissante.
• Si 0 < q < 1 et u_n < 0, c'est à dire u₀ < 0, alors la suite (U_n)_n Ïµ N est strictement croissante.

Remarque :

Ces résultats généraux sur le sens de variation d’une suite géométrique ne sont pas à apprendre mais il faut savoir les retrouver dans l’étude de cas particuliers.


Somme des termes d'une suite géométrique