Définition :

Une suite (U_n)_n Ïµ N est une suite arithmétique si et seulement si il existe un nombre réel r tel que, pour tout _n Ïµ N on ait

U_n+1 = U_n + r

Si la suite (U_n)_n Ïµ N est une suite arithmétique, le  nombre réel r s’appelle la raison de cette suite.

 
Autrement dit, une suite est arithmétique si et seulement si chaque terme s’obtient en ajoutant au terme précédent un nombre réel r, toujours le même.


u_n suite arithmétique ?

• Quelques points importants à retenir

Pour montrer qu’une suite est une suite arithmétique, il faut donc montrer  qu’une suite est une suite arithmétique, il faut donc montrer qu’il existe un nombre réel r indépendant de n tel que, pour tout _n Ïµ N,

U_n+1 = U_n + r

Autrement dit, il faut montrer que la différence U_n+1 - U_n est constante :

U_n+1 - U_n = r

Pour montrer qu’une suite n’est pas une suite arithmétique, il suffit de montrer que, sur les premiers termes par exemple, la différence U_n+1 - U_n n’est pas constante.

• Attention !

Pour montrer qu’une suite est une suite arithmétique, il ne suffit pas de vérifier que la différence U_n+1 - U_n est constante sur les premiers termes. Il faut le montrer pour tout entier n.

Exemples
1) La suite de tous les nombres entiers naturels est une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1 :

2) La suite de tous les nombres entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2 :
 

U_n = U₀ + n*r


Expression du terme général en fonction de n







Remarque

Soit (U_n)_n Ïµ N une suite arithmétique de raison r. Puisque, pour tout _n Ïµ N 

le terme général est de la forme u_n = ƒ(n)

ou ƒ est la fonction définie par ƒ(x) = u₀ + xr.

On peut donc calculer directement n'importe quel terme la suite.

De plus, comme la fonction ƒ est une fonction affine, une suite arithmétique de raison r est représentée dans le plan par des points alignés sur une droite de coefficient directeur r.


 

Représentation de la suite arithmétique 
de premier terme 0 et de raison 2 :

0, 2, 4, 6, 8......


Sens de variation d'une suite arithmétique

Soit (U_n)_n Ïµ N une suite arithmétique de raison r. Alors on a, pour tout _n Ïµ N

U_n+1 - U_n = r

On en déduit :
 

• Si r > 0, la suite est strictement croissante.
• Si r < 0, la suite est strictement décroissante.
• Si r = 0, la suite est constante.

Somme des termes d'une suite arithmétique



  
  

La formule s'énonce:

Exemple fondamental


Calcul de la somme S_n = 1 + 2 +...+ n

Avant de calculer cette somme rappelons l'anecdote relative au calcul de S₁₀₀ par Gauss.

Carl Friedrich Gauss (30 Avril 1777 à Brunswick – 23 Février 1855 à Göttingen) fut non seulement un illustre mathématicien (il était surnommé « le Prince des mathématiques ») mais aussi un physicien (il fit de nombreux travaux et publications en électricité, optique et magnétisme, théorie du potentiel) et un astronome réputé.

Un jour de 1786, à l’école primaire, le professeur qui voulait occuper ses élèves pendant un moment, leur demanda d’écrire tous les nombres de 1 à 100 et d’en calculer la somme. 

Très peu de temps après, le jeune Carl Friedrich Gauss qui n’était âgé que de 9 ans alla le voir et lui montra sa réponse, 5050, qui était exacte.

Son professeur, stupéfait, lui demanda comment il avait fait pour trouver cette réponse aussi rapidement.