La valeur absolue d’un nombre a se note entre deux barres verticales : |a|
|a| se lit « valeur absolue de a », |x| se lit « valeur absolue de x », etc…
Maintenant il s’agit de calculer cette valeur absolue.
Le principe est très simple :
|a| = a si a > 0
|a| = -a si a < 0
Exemples
|4| = 4; car 4 > 0
|367| = 367; car 367 > 0
|-5| = -(-5) = 5; car -5 < 0
|-62,4| = -(-62,4) = 62,4; car -62,4 < 0
Cela est bien sur valable pour les fractions, les entiers, les réels…
Pour faire simple, on peut dire que la valeur absolue est la « version positive » d’un nombre, mais ce n’est absolument pas mathématique de dire ça, c’est juste pour comprendre le principe
Propriétés
La valeur absolue possède certaines propriétés assez simples à connaître.
Tout comme la racine carrée, on peut « séparer » en deux quand on a des produits et des fractions :
|a*b| = |a|*|b|
Il y a également des propriétés avec les carrés :
|a2| = a2
normal car a2 est positif, donc on peut enlever la valeur absolue
|a|2 = a2
car a2 ou (-a)2, c’est la même chose
Une autre propriété que l’on utilisera tout à l’heure :
Si |a| = k; avec k réel positif; alors a = k ou a = -k
Exemple, si on doit résoudre :
|x| = 4, alors x = 4 ou x = -4
|x| = 7, alors x = 7 ou x = -7.
PAR CONTRE
Si |a| = k; avec k réel négatif; alors il n'y a pas de solution
Exemple, si on doit résoudre :
|x| = -5, il n’y a pas de solution.
|x| = -12, il n’y a pas de solution.
Evidemment, on a :
|a| > 0
puisqu’on a dit que |a| est la « version positive » de a
Propriété fondamentale
Nous allons maintenant voir une propriété très importante qui est la source de nombreux pièges et de nombreuses erreurs dans les copies. Retiens-donc bien ce qui suit.
Il y a une formule que tu dois déjà connaître :
(√a)2 = a
jusque-là pas de problème.
En revanche :
√a2 = |a|
—
Attention !!! Il ne faut surtout pas dire
√a2 = a
Cette formule n’est vraie que si a > 0, ce qui n’est pas forcément le cas tout le temps !!
—
La raison est toute simple : la racine de a2 est positive puisque c’est une racine, mais comme a ne l’est pas forcément, il faut prendre la « version positive » de a, c’est-à-dire sa valeur absolue
Voyons quelques exemples :
√42 = |4| = 4
√32,72 = |32,7| = 32,7
√(-8,5)2 = |-8,5| = 8,5
Si on disait que
√a2 = a
on aurait des égalités du style
√-72 = -7
On aurait donc une racine carrée négative…
Mais alors pourquoi on aurait pas la formule
(√a)2 = |a| ?
Tout simplement parce que dans cette formule on a √a, ce qui veut dire que a est forcément positif !!
Il n’y a donc pas besoin de valeur absolue…
En fait, la formule
(√a)2 = a
n’est valable que pour a > 0
Alors que la formule
√a2 = |a|
est valable pour tout a, positif ou négatif
Application la plus courante
Tu auras surtout à utiliser la valeur absolue dans des égalités, voire inégalités quand la variable que tu cherches est au carré.
Petit exemple :
8x2 - 5 = 11
On résoud tranquillement :
8x2 = 16
x2 = 2
Et c’est là que tout le monde se trompe, la plupart des élèves se disent « on applique la fonction racine pour enlever le carré » :
√x2 = √2
x = √2
Et bien sûr c’est la dernière ligne qui est fausse, puisqu’en réalité la dernière ligne devrait être :
|x| = √2
puisque
√x2 = |x| et non x
On utilise alors la propriété qu’on a vue tout à l’heure :
Si |a| = k; alors a = k ou a = -k
Ici ça nous donne
x = √2
ou
x = -√2
Il y a donc 2 solutions à l’équation, et c’est souvent le contexte de l’exercice qui permet de dire quelle solution est la bonne.
Si tu veux être sûr de ne pas te tromper, tu peux toujours faire la méthode de la factorisation.
Si par exemple tu dois résoudre
x2 = 9
tu passes tout à gauche
x2 - 9 = 0;
et tu factorises
(x + 3)(x - 3) = 0
x + 3 = 0 ou x - 3 = 0
x = -3 ou x = 3
C’est une autre technique un peu plus longue mais au moins tu es sûr de ne pas oublier de solution !
Cas des inégalités
Pour les égalités, on vient de le voir, c’est assez simple.
Pour les inégalités en revanche, c’est un peu différent !
Les formules sont les suivantes :
Si x2 ≤ k
avec k positif, alors
-√k ≤ x ≤ √k
Exemple :
Si x2 ≤ 7
alors
-√7 ≤ x ≤ √7
Il y a bien sur également le cas contraire :
Si k ≤ x2
avec k positif, alors
x ≤ -√k ou √k ≤ x
Exemple :
Si 11 ≤ x2
alors
x ≤ -√11 ou √11 ≤ x
Explication graphique
Nous allons résoudre graphiquement les équations dont on a parlé précédemment
Pour résoudre x2 = k, on trace la fonction y = x2 et la droite d’équation y = k :
On voit bien que les deux courbes se coupent en 2 points, il y a donc 2 solutions : √k et -√k.
Pour résoudre x2 ≤ k, on fait de même :
comme x2 ≤ k, c’est la partie sous le k de la fonction carrée (la partie rouge) qui nous intéresse.
On voit que cela correspond alors à la partie bleue, c’est-à-dire l’intervalle [-√k ; +√k]
Pour résoudre x2 ≥ k, c’est sensiblement la même chose, sauf que là, c’est la partie au-dessus du k (en rouge) qui nous intéresse :
On voit alors qu’il y a 2 intervalles possibles : ]-∞ ; -√k] et [√k ; +∞[, ce qu’on avait dit tout à l’heure.
Inégalité triangulaire et distance
L’inégalité triangulaire est la formule suivante :
|a + b| ≤ |a| + |b|
Pour comprendre cette inégalité, il suffit de voir son explication géométrique en termes de vecteurs :
On sait très bien que dans un triangle, la somme de 2 côtés doit être supérieure au 3ème, ce qui nous donne la formule.
Mais dans la formule il y a la valeur absolue.
Ceci est dû au fait que la valeur absolue représente la distance entre 2 points :
|a - b| représente la distance entre a et b
Avec un exemple et une droite graduée on voit bien le principe :
|5 - 3| = |2| = 2
et en effet, la distance entre 5 et 3 est bien 2 :
De même pour 4 et -3 :
|5 - (-3)| = |4 + 3| = |7|
et en effet, la distance entre 4 et -3 est bien 7 :
La fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue, c’est-à-dire f(x) = |x|, n’est pas forcément à connaître, ce qu’il faut savoir c’est comment manipuler et calculer des valeurs absolues.
Nous allons cependant te présenter à quoi ressemble la courbe, juste pour ta culture mathématique
En effet, on a vu que la valeur absolue était définie de la manière suivante :
|x| = x si x > 0
et
|x| = -x si x < 0
La courbe est donc composée des courbes de y = -x sur ]-∞ ; 0[ et y = x sur ]0 ; +∞[
On peut voir graphiquement une petite propriété vue tout à l’heure :
Si |a| = k, a = k ou a = -k
Graphiquement :
On voit bien que si |x| = k il y a 2 solutions : x = k ou x = -k.
Une petite remarque qui n’est pas fondamentale : la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n’est pas dérivable en 0, la dérivée à gauche n’étant pas la même que la dérivée à droite.
Intérêt de la valeur absolue
On l’a vu, la valeur absolue sert principalement dans les égalités ou inégalités ou l’inconnue est au carré.
Mais on s’en sert également dès qu’on a besoin de la « version positive » d’un nombre, notamment en physique, quand on cherche la norme de vecteurs représentant des forces par exemple.
2020-05-09 05:32:12 / mazoughou@magoe.gn
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