On désigne par A une partie non vide de R .

Majorant

• On dit qu'un réel a est un majorant de A si tout élément de A est inférieur ou égal à a .

  a majorant de A équivaut à :

• On dit que A est majorée si A admet un majorant (elle en admet alors une infinité).

Minorant

• On dit qu'un réel a est un minorant de A si tout élément de A est supérieur ou égal à a .

• On dit que A est minorée si A admet un minorant.

A est bornée si A est majorée et minorée.

Remarque

Une partie non vide de R n'a pas toujours de majorant; lorsqu'elle en a un, elle en admet une infinité.

Exemple

1. Soit  , 2, 3, sont des majorants de A ; 0,1 des minorants de A . A est donc une partie bornée de R . On remarque que 2, majorant de A , appartient à A .
2. Soit  ; -10, 0 sont des minorants de B ; B est une partie minorée de R mais B n'est pas majorée (il existe des éléments de B arbitrairement grands). On remarque que 0 est un minorant de B qui appartient à B .

Maximum

On dit qu'un réel a est plus grand élément (ou maximum) de A si a appartient à A et est un majorant de A .

a plus grand élément de A équivaut à :

a êž’ A et 

Maximum

On dit qu'un réel a est plus petit élément (ou miniimum) de A si a appartient à A et est un minorant de A .

Remarque

Une partie majorée (resp. minorée) n'a pas nécessairement de plus grand (resp. petit) élément.

Exemple

On reprend les exemples précédents :

 , 

2 est le plus grand élément de A , 0 le plus petit élément de B . 1 est un minorant de A qui n'appartient pas à A , mais qui est tel que tout nombre supérieur à 1 n'est pas minorant de A , ce qu'on traduit par :

 ,

il suffit de prendre n > 1/Ɛ  . Ainsi si Æ = 10^-10 on prend par exemple n = 10¹⁰ + 1.

Propriété

Si A a un plus grand (resp. petit) élément celui-ci est unique.

Preuve

On aurait sinon a ≤ b et b ≤ a , d'où a = b .

On note alors max A  (resp. min A) le plus grand (resp. petit) élément de A .