Définitions et propriétés

Définition

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, on appelle similitude la composée d'une isométrie et d'une homothétie. La similitude est dite directe si l'isométrie est positive, indirecte si l'isométrie est négative.

Une similitude est donc de la forme R_a,b si elle est directe ou S_a,b si elle est indirecte.
Réciproquement, l'application R_a,b (resp. S_a,b) est une similitude directe (resp. indirecte). En effet, quand on la compose par l'homothétie R(∣a∣⁻¹,0) de centre O et de rapport ∣a∣⁻¹, on obtient une isométrie positive (resp. négative).

Propriété

Les similitudes directes du plan complexe sont les transformations R_a,b (avec a≠0 et b des nombres complexes). Les similitudes indirectes du plan complexe sont les transformations S_a,b (avec a≠0 et b des nombres complexes).

Définition

On appelle rapport de la similitude la valeur absolue du rapport de l'homothétie, il vaut ∣a∣ dans l'écriture complexe.

Figures semblables

Les isométries conservent forme et taille d'une figure. Les similitudes qui ne sont pas des isométries conservent la forme des figures mais seul le rapport des longueurs est conservé.

Définition

On dit que deux figures sont semblables si l'une est la transformée de l'autre par une similitude.

Image d'une droite ou d'un cercle

Soient P et Q deux points distincts d'affixes respectives p et q, λ et r deux réels strictement positifs.
En utilisant les propriétés des homothéties, des isométries et de la décomposition canonique, on montre que l'image de (PQ) par une similitude s est la droite (s(P)s(Q)).
L'image du cercle ????(P,r) de centre P et de rayon r par une similitude s de rapport λ est le cercle ????(s(P),λr) en effet on a, pour tout point M du plan, d'affixe mm :

M∈C(P,r)⇔∣m−p∣=r⇔∣s(m)−s(p)∣=λr⇔s(M)∈C(s(P),λr).