1. Affixe d'un vecteur, angle orienté de deux vecteurs

Définition

Dans le plan orienté par un repère orthonormé , on considère un vecteur  de composantes (x,y) ; on appelle affixe du vecteur  le nombre complexe ω=x+iy.

En particulier, l'affixe de M est égal à celui de . L'affixe du vecteur  est z_B−z_A quand A et B sont des points d'affixes respectives z_A et z_B.

Propriété

Soient  et  deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z et z′. L'angle orienté  a pour mesure l'argument de .
Pour A et B deux points distincts d'affixes respectives z_A et z_B et C et D deux points distincts d'affixes respectives z_C et z_D, l'angle orienté a pour mesure l'argument de .

Démonstration

Par relation de Chasles, on a

.

La formule est démontrée et s'applique à  pour donner :

2 Applications à l'étude de lieux

Ces descriptions sont des applications directes des propriétés du module et de l'argument d'un nombre complexes.
Soient A, B et M des points d'affixes respectives aa, bb et mm.

1. L'ensemble des points M vérifiant ∣m−a∣=∣m−b∣ est la médiatrice de [AB], ensemble des points équidistants de A et B.
2. L'ensemble des points M vérifiant ∣m−a∣=∣a−b∣ est le cercle centré en A passant par B.
3. L'ensemble des points M vérifiant ∣m∣<1 est le disque unité ouvert (c'est-à-dire le disque sans le cercle unité).
4. L'ensemble des points M vérifiant ∣m∣≤1 est le disque unité fermé (c'est-à-dire avec le cercle unité).
5. L'ensemble des points M vérifiant  ne contient pas O donc on peut poser m=re^iθ ; la condition s'écrit alors 2rcos(θ)=1. L'ensemble des points M vérifiant est la droite x=.
6. L'ensemble des points M vérifiant  ne contient pas O donc on peut poser m=re^iθ ; la condition s'écrit alors 2rsin(θ)=1. L'ensemble des points M vérifiant  est la droite y=.
7. Les points M tel que  soit un imaginaire pur sont les intersections du cercle de diamètre [AB] et de la médiatrice de [AB] en effet le triangle ABM soit rectangle isocèle en M.

Ecriture complexe d'une transformation

 Un point dans le plan avec un repère orthonormé  peut être déterminé par ses coordonnées (x,y) ou son affixe z=x+iy. Ainsi on peut définir une transformation en donnant pour chaque point les coordonnées de son image ou son affixe.

Définition

Soient deux nombres complexes a (non nul) et b. On s'intéresse aux transformations Ra,b et Sa,b définies pour z∈â„‚ par :

Exemples

On considère M et M′ d'affixes respectifs z et z′.

• La transformation R_1,b est la translation de vecteur d'affixe b. En effet, de z′=z+b, on tire :  =  puisque z′−z est l'affixe de .
• La transformation R_−1,2c est la symétrie centrale de centre C d'affixe c. en effet, de z′=−z+2c, on tire  donc C est le milieu de[MM′].
• Pour λ réel, non nul et différent de 1, et c∈â„‚, R_λ,c(1−λ) est l'homothétie de centre C d'affixe c et de rapport λ. En effet, pour M′=h(C,λ)(M), on a : z′−c=λ(z−c).
• Pour θ≠0, l'image de M par la rotation de centre C d'affixe c et d'angle θ est le point M′ dont l'affixe vérifie :

  z′−c=e^iθ(z−c)

• La transformation S_1,0 est la réflexion d'axe y=0 : .
• Pour θ≠0 et a=eiθ, S_a,0 est la réflexion d'axe Δ où Δ est la droite passant par O et tel que . En effet, de , on tire : S_a,0∘S_1,0 = R(e^iθ,0).

Propriété

Soient a≠0 et b deux nombres complexes.
Les applications R_a,b et S_a,b multiplient les longueurs par ∣a∣.
Les applications R_a,b conservent les angles orientés.
Les applications S_a,b transforment un angle orienté en son opposé.

Démonstration

Soient M et N d'affixes respectives z_M et z_N ; on note z′_M et z′_N les affixes de leurs images. 
Pour les applications R, on a :  d'où . 
Pour les applications S, on a :  d'où . 
Dans les deux cas, la longueur M′N′ est le produit de NM par ∣a∣. 
On suppose M et N distincts et on considère deux autres points distincts P et Q d'affixes respectives z_P et z_Q ; on note z′_P et z′_Q les affixes de leurs images. 
Pour les applications R, on a :  donc les angles orientés sont conservés. 
Pour les applications SS, on a :  donc un angle orienté est transformé en son opposé.