Définition : L'équation homogène associée à l'équation (E): ay″+by′+cy=φ(t) est l'équation (E₀): ay″+by′+cy=0.

Pour résoudre (E), on a besoin de résoudre (E₀). Il faut donc déjà savoir faire les exercices de la partie précédente.

Théorème fondamental

Théorème : Soit (E): ay″+by′+cy=φ(t) une équation différentielle et (E₀):ay″+by′+cy=0 l'équation homogène associée à (E)

La solution générale de l'équation (E) est la somme d'une solution particulière de (E) et de la solution générale de (E₀)

La méthode pour trouver la solution générale de (E₀) a été étudiée dans les chapitres précédents du cours.

Les méthodes pour trouver une solution particulière de (E) sont dans les pages suivantes.

Recherche d'une solution particulière

Selon les sujets, la recherche de la solution particulière peut se présenter sous deux formes :

• une fonction g(t)=... est donnée dans l'énoncé, et on demande de vérifier que cette fonction est solution de (E)
  Pour vérifier que la fonction g(t) est une solution particulière de l'équation différentielle (E):ay″+by′+cy=φ(t)

  On commence par calculer la dérivée de g(t) : g'(t) (et on la simplifie, si possible).
  On calcule la dérivée de g′(t) : g″(t) (et on la simplifie, si possible).
  On calcule ensuite ag″(t)+bg′(t)+cg(t), on le simplifie au maximum et ... on retrouve comme par miracle φ(t).

  On en déduit alors que g est une solution particulière de (E)

• la "forme" de la fonction g est donnée (avec des paramètres a, b...) et on demande de déterminer a, b... pour que g soit solution de (E)
  Pour trouver une solution particulière de l'équation différentielle (E):ay″+by′+cy=φ(t) quand la forme de la fonction g(t) est donnée :

  On commence par calculer la dérivée de g(t) : g'(t) (et on la simplifie, si possible).
  On calcule la dérivée de g'(t) : g″(t) (et on la simplifie, si possible).
  On calcule ensuite ag″(t)+bg′(t)+cg(t), on le simplifie au maximum en regroupant les termes pour ressembler au maximum à φ(t).

  On identifie alors les coefficients entre le résultat trouvé et φ(t). On obtient ainsi un système permettant de trouver les paramètres cherchés. On les remplace enfin dans l'expression de g(t) pour conclure.

Résolution de l'équation ay'' + by' + cy = φ(t)

Etapes pour résoudre(E):ay″+by′+cy=φ(t):

• écrire l'équation homogène (E₀) associée :ay″+by′+cy=0
• résoudre (E₀): on appelle "solution générale" de (E₀) l'ensemble de toutes les solutions de (E₀) (dépendant de deux constantes)
• déterminer une solution particulière de (E)
• la solution générale de (E) est la somme de la solution particulière et de la solution générale de (E₀)

Résolution avec conditions initiales

Comme dans le cas d'une équation homogène, une équation différentielle de la forme ay″+by′+cy=φ(t) admet une infinité de solutions dépendant de deux constantes h et k. Parmi celles-ci, il en existe une et une seule qui vérifie des conditions initiales de la forme f(t₀)=y₀ et f′(t₀)=z₀.

Pour traduire ces conditions, on doit donc commencer par dériver la formule trouvée pour la solution générale (sans oublier que h et k sont deux constantes).

En écrivant ces conditions, on obtient un système de deux équations à deux inconnues h et k, qui se résout à l'aide des méthodes "habituelles". Quand t₀=0, le système obtenu est en général simple à résoudre.