Les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être exprimés en divisant un nombre naturel par un autre, en tant que ratio entre deux nombres entiers ou sous une forme décimale qui soit arrive à une fin, soit passe à un modèle régulier de chiffres répétés.
Les développements décimaux des nombres irrationnels se poursuivent à l’infini sans répétition périodique.
Comme les nombres naturels et rationnels, les nombres irrationnels vont à |'infini.
Mais alors que les nombres rationnels et entiers sont des ensembles finis ( dans le sens dénombrable),les nombres irrationnels sont bien plus nombreux. En fait, leur nature les rend non seulement infinis, mais indénombrables.
Exemple
Le quotient de la circonférence d'un cercle par son diamètre n'est pas un nombre rationnel:
La longueur de la diagonale d'un carré ne peut pas être exprimée par un nombre rationnel:
2 = 1,414 213 …
En effet, quelle est la longueur d'une barrière qui coupe en diagonale un lopin de terre en forme de carré de 1 km de côté?
Réponse:
2 = 1,4142 …. km
Ça n'est pas une fraction. Ca n'est pas rationnel. C'est irrationnel.
Ça n'est pas une fraction. Or sur notre droite l'espace est rempli continûment par des nombres (étiquettes) entiers ou fractionnaires (les nombres rationnels).
Alors, où faut-il placer ce nouvel individu 2 ?
Quelle logique adopter?
Pour prouver qu'une constante universelle est irrationnelle, il faudrait montrer qu'il est possible de l'exprimer sous forme d'un motif qui se répète jusqu'à l'infini.
C'est là une chose que nous ne pourrons jamais vérifier.
Avec les nombres irrationnels, les mathématiciens ont fait surgir en science quelque chose dont aucune mesure ne peut décider.
Il y a bien mathématiquement une distinction entre rationnellement continu et réellement continu.
Est-ce que ces notions s'appliquent au temps?
Pour un empiriste, toutes ces histoires semblent complètement irrationnelles...
Propriétés
La racine carrée d'un nombre non-carré parfait est un nombre irrationnel.
La racine ixième d'un nombre non-puissances ixième parfaite est un nombre irrationnel.
Exemples:
Le produit de deux rationnels est rationnel.
Le produit d'un irrationnel par un rationnel est irrationnel.
Exemple:
2 x 1/2 est rationnel ou irrationnel ?
S'il était rationnel, en le multipliant par 2 (rationnel), le produit serait rationnel. Or:
2 x 2 x 1/2 = 2 qui est irrationnel.
L'hypothèse était fausse. Il est irrationnel.
Autres irrationnels:
3, 5, 7 11, , e et une horde d'anonymes.
Un nombre irrationnel puissance un nombre irrationnel peut donner un nombre rationnel.
Si un nombre au carré ne s'écrit pas avec des facteurs premiers dont les puissances sont paires, alors il est irrationnel.
Exemple : (3/4)² = 3 / 4² = 3 / 24
Théorème
Tous les nombres en ,
sauf les carrés parfaits, sont irrationnels.
Tous les nombres en m,
sauf les puissances parfaites en m, sont irrationnels.
xn + a1 . xn-1 + …+ an = 0
avec n 1 et ai entiers
si x n'est pas un entier, il est irrationnel.
Tout nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction continue est un nombre irrationnel.
Nous savons, ou pas
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Irrationnel |
² |
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(3)* |
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(2n+1) |
? |
e + |
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e . |
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e / |
* Fonction zêta: démonstration en 1978 par Roger Apéry
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||
1) La somme de deux rationnels est rationnelle. |
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Avec les conditions d'uage: |
Lecture: les nombres p et s appartiennent à l'ensemble des nombres relatifs; les nombres q et s aussi, mais sans le zéro. |
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Somme |
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Le numérateur est un nombre entier relatif (de Z) et le dénominateur n'est pas nul. |
x + y est rationnel. |
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2) La somme d'un rationnel avec un irrationnel est irrationnelle. |
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Supposons que la somme est rationnelle. (Conditions d'usage). |
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Valeur de y |
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Numérateur un entier relatif; Dénominateur non nul. |
y est rationnel |
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Contraire à nos données départ. |
La somme n'est pas rationnelle. |
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3) La somme de deux nombres irrationnels n'est pas nécessairement irrationnelle. |
Exemples et – 1 sont irrationnels. irrationnels – ( – 1) = 1 rationnel – = 0 rationnel |
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4) Si x et y sont irrationnels, alors: |
x + y ou x – y est irrationnel, il est possible que l'un d'eux soit rationnel mais pas les deux. |
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Mise sous forme rationnelle |
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Somme des deux expressions qui nous donne 2x. |
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Différence des deux expressions qui nous donne 2y. |
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Les numérateurs sont des nombres entiers relatifs (de Z) et les dénominateurs ne sont pas nuls. |
x et y sont rationnels |
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Contraire à nos données départ. |
x + y ou x – y ne peuvent pas être rationnels les deux à la fois. |
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Histoire des nombres irrationnels
En latin, « ratio » signifie compter. Etymologiquement, un nombre irrationnel est un nombre que l’on ne peut pas compter. On dirait plutôt aujourd’hui, que l’on ne peut pas écrire car le nombre de décimales qui le constitue est infini mais de surcroît ces décimales se suivent sans suite logique.
On l’oppose par définition au nombre rationnel quotient de deux entiers dont l’écriture décimale peut être infinie mais dans ce cas nécessairement périodique.
Par exemple, 2/7 = 0,285714285714285714… est un nombre rationnel.
Les nombres irrationnels les plus célèbres sont π et e. Les premières décimales de π sont :
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582… Mais dans la pratique, on utilise le plus souvent 3,14. Les décimales de π ont été la proie des savants depuis près de 4000 ans. Une des plus anciennes approximations de π se trouve sur le célèbre papyrus Rhind.
Le nombre e ne fait son apparition qu’au XVIIe siècle avec le développement des logarithmes. Ses premières décimales sont :
2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957…
Pour en savoir plus :
Le nombre π
Le nombre e
Pour trouver les premières traces de nombres irrationnels, il faut remonter 4000 ans en arrière jusqu’aux civilisations babyloniennes. L’université de Yale possède une petite tablette de 7cm de diamètre datant de la première dynastie babylonienne (environ 1700 avant J.C) qui représente un carré et ses diagonales. Les trois séries de nombres écrits en langage cunéiforme donne une excellente approximation de avec une erreur relative de 4x10-7.
Tablette babylonienne (environ 1700 avant J.C)
Les Égyptiens de l’Antiquité savent également extraire les racines carrées à l’aide de nombres rationnels mais leurs approximations ne sont que très vagues.
Chez les grecs, la notion de nature de nombre commence à apparaître. Le premier irrationnel à faire son entrée est en tant que longueur de la diagonale d’un carré de côté 1. En réalité, les grecs conçoivent un carré construit sur la diagonale du premier. L’aire du second est le double de celle du premier. Ils prouvent que le coté du second est dans un rapport au côté du premier que l’on ne peut pas exprimer.
Selon l’historien Diogene Laërce (IIIe siècle), ce sont les pythagoriciens qui, cinq siècles avant J.C., ont découvert l’impossibilité de trouver une solution fractionnaire. Une valeur approchée de la solution ne convenant pas dans la formule de Pythagore, l’usage de la géométrie en arithmétique voit ses limites.
Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le fondement même de la Fraternité : "Tout est nombre". "Nombre" au sens d'un entier ou d'une fraction.
Jusqu'à ce qu'un des membres de la Fraternité, Hippase de Métaponte, trahisse le secret.
L’historien et philosophe, Proclus (Ve siècle), déclara à ce sujet :
« On dit que les gens qui ont divulgué les nombres irrationnels ont péri dans un naufrage jusqu’au dernier, car l’inexprimable, l’informe, doit être absolument tenu secret ; ceux qui l’ont divulgué et ont touché à cette image de la vie ont instantanément péri et doivent rester éternellement ballottés par les vagues. »
Pythagore de Samos (-569 ; -475)
selon Raphaël
Euclide d'Alexandrie (-320? ; -260?) présente une des premières démonstrations de l’irrationalité de . Dans le Livre X des « Eléments », il donne une classification des irrationnels connus qui sont tous des racines carrés d’entiers.
Plus tard, dans « Les Sulbasutras » (Règles des cordes), l’indien Baudhayana (vers 800) étudie la possibilité de construire un carré dont l’aire est le double d’un autre. Il sera conduit à évaluer une valeur approchée de .
La démonstration de l’irrationalité de peut s’effectuer aujourd’hui par l’absurde :
Supposons que soit rationnel, alors il existe deux entiers p et q tel que p/q soit irréductible et = p/q.
Donc 2 = p2/q2 soit p2 = 2q2.
- p2 est ainsi un nombre pair donc p l’est également.
Il existe donc un entier r tel que 2r = p.
La fraction p/q = 2r/q étant irréductible, l’entier q est impair.
- or p2 = 2q2 soit 4r2 = 2q2 soit encore 2r2 = q2
Donc q2 est pair et ainsi q est pair.
Nous aboutissons à une contradiction donc l’hypothèse de départ est fausse.
Le nombre n’est pas rationnel donc il est irrationnel.
Vers la fin du premier millénaire de notre aire, de nouveaux nombres irrationnels sont connus avec les progrès dans les calculs approchés obtenus par le développement des méthodes de résolution des équations (Voir l'histoire de l'algèbre et des équations).
Avec les savants arabes, les racines carrées obtiennent le statut de nombre. Pour Abu Kamil (850 ; 930) puis plus tard Yahya Al Samaw’al (1130 ; 1180), les nombres irrationnels sont un objet mathématique à part entière utilisé pour l’algèbre et l’arithmétique.
Vers le début Xe siècle, un nombre rationnel est appelé « al-a`dad al-mantiqa » (nombre logique), un nombre irrationnel est appelé « al-a`dad asamma » (nombre sourd).
Au XVIe siècle, en Europe, le mathématicien belge Simon Stevin (1548 ; 1620) veut faire intégrer les nombres irrationnels parmi les nombres et s’oppose à l’utilisation d’inexprimable ou d’irrationnel.
Dans « Triparty en la science des nombres », Nicolas Chuquet (1445 ; 1488) note les radicaux avec un "R". Puis le "R" devient "r" et avec Christoff Rudolff (1499 ; 1545), les racines carrées sont notées à l’aide du symbole , les racines cubiques avec et les racines quatrièmes avec .
Le symbole radical avec la barre supérieure s
2018-10-01 14:35:50
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