En général, l’élaboration de la commande est basée sur :

• Un capteur pour mesurer la sortie ;
• Un comparateur entre la consigne et la sortie ;
• Un correcteur qui élabore la commande en fonction de la comparaison précédente, ce qui peut se représenter par la figure ci-dessous.

Exemple : Commande de la vitesse de rotation d’un moteur.

1. Schéma fonctionnel d’un système asservi.

    Bien qu’utilisés le plus souvent en liaison avec les modèles entrée-sortie du type fonction de transfert, les schémas fonctionnels peuvent aussi servir à donner une image graphique des modèles dans l’espace d’état.

 

1.1. Définition.

    Le schéma fonctionnel d’un système est une représentation graphique des fonctions de chaque composant élémentaire constituant le système ainsi que le flux des signaux utiles. Un schéma fonctionnel est composé :

• D’arcs orientés qui représente le flux de signaux donnés regroupés dans un vecteur.

• De blocs fonctionnels qui sont les symboles représentant l’opération mathématique appliquée à l’entrée du bloc et produisant sa sortie. Cette opération mathématique est très souvent mais pas exclusivement représentée par une fonction de transfert. La figure ci-dessous représente à gauche un bloc fonctionnel associé à une fonction de transfert Y (p) = F(p)U(p) alors que celui de droite est associé à l’opération de multiplication de l’entrée par une matrice y(t) = A(t)u(t).

• De blocs sommateurs qui traduit une relation purement algébrique entre les signaux d’entrée et de sortie.

Remarques.

• Un schéma fonctionnel n’est pas unique.
• Il est indépendant de la nature physique du système modélisé.

 

1.2. Schéma fonctionnel et fonctions de transfert.

    Le schéma fonctionnel est très étroitement associé aux fonctions de transfert. Ainsi, une procédure systématique de tracé du schéma fonctionnel d’un système donné peut être proposée.

 

Principes de construction.

1. Ecrire les équations de la physique associées à chaque élément constituant le système.
2. En appliquant la transformée de Laplace, calculer la fonction de transfert associée à chaque élément en supposant les conditions initiales nulles.
3. Identifier les relations inter-signaux et les relations signaux-blocs pour tracer le schéma fonctionnel.

 

Exemple.

Soit le circuit électrique RC.

    La représentation d’état linéaire temps-variant suivante a pour équivalent le schéma fonctionnel de la figure ci-dessous.

Schéma fonctionnel d’une représentation d’état.

 

2. Fonction de transfert des systèmes linéaires.

    Soit un système linéaire invariant d’entrée u(t) et de sortie y(t). La réponse du système peut s’écrire y(t) = g(t).u(t) avec g(t) la réponse impulsionnelle du système. En appliquant la transformée de Laplace à cette équation on obtient Y (s) = G(s).U(s). En variable de Laplace la relation entrée-sortie n’est donc plus un produit de convolution, mais un simple produit.

    On appelle fonction de transfert du système la transformée de Laplace G(s) de la réponse impulsionnelle qui est le rapport des transformées de Laplace de la sortie et de l’entré. Le terme de transmittance, synonyme de fonction de transfert est souvent utilisé.

2.1. Fonction de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée.

    Soit le schéma de la figure ci-dessous. On définit E(p) comme l’entrée de consigne, Y (p) comme la sortie mesurée et (p) comme l’erreur.

    La fonction de transfert en boucle ouverte ou gain de boucle correspond au transfert si la boucle est ouverte en A. Elle est définie comme suit :

    La fonction de transfert en boucle fermée correspond au transfert ”global” de la boucle d’asservissement. Elle est définie comme suit :

    Un cas particulier que l’on rencontre fréquemment est celui des systèmes bouclés à retour unitaire.

    Un système bouclé est dit à retour unitaire si le transfert de la chaine de retour est égal à un. La fonction de transfert en boucle ouverte est alors égale au transfert de la chaine directe G(p) et la fonction de transfert en boucle fermée est donnée par :

3. Relations fondamentales des systèmes linéaires.

    Nous avons ci-dessous les relations fondamentales de quelques systèmes linéaires.

4. Stabilité.

    Ces concepts de stabilité d’un point d’équilibre peuvent être illustrés sur la figure ci-dessous. La position A correspond à un point d’équilibre instable, la position B à un point d’équilibre stable et la position C à une position d’équilibre asymptotiquement stable.

    Quand le système est mis en équation, il est beaucoup plus facile d'évaluer ses performances. Les performances du système sont obtenues en mesurant la rapidité de prise en compte de la commande et la précision atteinte en sortie.

4.1. Réponse impulsionnelle.

    C'est la réponse du système lorsque le signal d'entrée est une impulsion. On note cette réponse h(t). Elle contient toute l’information nécessaire sur le système. Cependant, l'utilisation de cette réponse s'accompagne de quelques difficultés pratiques car on ne sait pas toujours réaliser une impulsion de durée très brève vis à vis des constantes de temps mises en jeu dans le système étudié.

    Ainsi, malgré que la réponse impulsionnelle ne permet pas d'évaluer les performances d'un système, Elle permet d'introduire la notion de stabilité.

 

4.2. Stabilité.

    Un système est dit stable, si sa réponse impulsionnelle est le siège d'un régime amorti :

    On ne doit pas oublier, en effet, que commander correctement un système, c'est avant tout éviter qu'il ne devienne instable.

---

2016-12-02 06:02:11 / mazoughou@magoe.gn