Introduction

Ce chapitre est fondamental car on trouve des polynômes du second degré partout et tout le temps !!
On en trouve notamment en physique, et les études de fonction comportent souvent de telles fonctions.

Un polynôme, qu’est-ce-que c’est ?

Un polynôme, c’est une fonction f de la forme :

où a₀, a₁, a₂… sont des réels. On les appelle les coefficients.

Par exemple :

f(x) = 3 + x⁴ - x⁷;

f(x) = 8x⁶ - 5x²;

f(x) = -3x² + x⁴;

 

Par contre, dès qu’il y a des racines ou des fractions, ce n’est plus une fonction polynôme
A chaque fois il y a bien sûr une puissance de x la plus grande. Par exemple dans

f(x) = 3 + x⁴ - x⁷;
c’est le x⁷ le plus grand

f(x) = 8x⁶ - 5x²;
c’est le x⁶ le plus grand

f(x) = -3x² + x⁴;
c’est le x⁴ le plus grand

C’est ce qu’on appelle le DEGRE du polynôme.

Dans les exemples, le 1er polynôme est donc de degré 7, le 2ème de degré 6, le 3ème de degré 4

Nous allons nous intéresser aux polynômes de degré 2, c’est-à-dire ceux de la forme :

ax² + bx + c;

On appelle ces fonctions des polynômes du second degré.

Représentation graphique

Un polynôme du second degré est une parabole, tournée vers le haut ou vers le bas :

Mais comment sait-on si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas ?
C’est très facile, on regarde le signe de a !!!
(on rappelle que a est le coefficient de x²)

• Si a est positif, la parabole est tournée vers le haut
• Si a est négatif, la parabole est tournée vers le bas

 

Exemple :

f(x) = 3x² + 4x - 7

 

Ici a = 3 > 0, donc la parabole est tournée vers le haut.

f(x) = -5x² - 8x + 9

 

Ici a = -5 < 0, donc la parabole est tournée vers le bas.

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ATTENTION !! Il faut bien regarde le coefficient de x² !!
Or ce n’est pas forcément le 1er dans la fonction.
Exemple :

f(x) = -5x +3x² - 9

Ici a = +3 !!
Certains diront a = -5 car c’est le premier coefficient que l’on voit mais -5 est le coefficient de x et non celui de x²…
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Racines d’un polynôme

Les racines d’un polynôme, ce sont les valeurs pour lesquelles un polynôme s’annule, c’est-à-dire f(x) = 0.

Graphiquement, cela correspond aux valeurs pour lesquelles la courbe coupe l’axe des abscisses :

Par exemple :

f(x) = x² - 3x + 2

 

Remplaçons x par 1 :

f(1) = 1² - 3*1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

 

Donc 1 est une racine de f !!

De même avec 2 :

f(2) = 2² - 3*2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0

 

Donc 2 est aussi racine de f !

Mais il pourrait y en avoir d’autres… sauf qu’un polynôme du second degré a AU PLUS 2 racines !!
En effet, il peut en avoir 0, 1 ou 2.
Ceci se voit très bien graphiquement, nous allons faire un tableau récapitulatif :

Un polynôme du second degré a donc 0, 1 ou 2 solutions.

En fait il y a un théorème plus général :

Un polynôme de degré n a au plus n racines

 

Ainsi, un polynôme de degré 8 a AU PLUS 8 racines, il peut en avoir 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, ou 0 !!
Un polynôme de degré 12 a AU PLUS 12 racines, etc…

Un polynôme de degré 2 a donc au plus 2 racines ! Ce que l’on voit bien graphiquement avec le tableau ci-dessus.

Calcul des racines d’un polynôme du second degré

On rappelle que l’on a

f(x) = ax² + bx + c

 

Il y a alors 2 étapes :

1) On calcule le discriminant, que l’on appelle aussi le delta (la lettre Δ en grec) avec la formule suivante :

Delta = b² - 4ac

 

La règle est alors la suivante :

1. Si Delta < 0: il y a 0 solution (pas de solution dans R)
2. Si Delta = 0: il y a 1 solution (une solution double)
3. Si Delta > 0: il y a 2 solution (deux solutions distinctes)

 

On peut résumer avec ce tableau :

2) La 2ème étape consiste à calculer les racines s’il y en a.
Les formules sont les suivantes :
Dans le cas où il y a une seule solution, nous l’appellerons x₁

Si Delta = 0: 

 

Dans le cas où il y a 2 solutions, nous les appellerons x₁ et x₂.

Si Delta > 0: 

 

Pour x₂, la seule chose qui change est le -√ Δ au lieu du +√ Δ : facile à retenir

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ATTENTION à l’ordre des coefficients !!!
Le a est bien le coefficient du x², le b le coefficient du x et le c le coefficient constant !
Si on a f(x) = -3x + 4 – 5x², il est conseillé de remettre d’abord dans l’ordre avant de faire les calculs :
on écrit f(x) = – 5x² -3x + 4, comme ça on voit bien que a = -5, b = -3 et c = 4.
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Pour le cas où Δ = 0, ce n’est pas une autre formule que pour le cas Δ > 0.
En effet, si dans les formules de x₁ et x₂ tu remplaces Δ par 0, on trouve la même formule : -b/2a, qui est la formule du x₁ pour Δ = 0.

En fait, quand il y a une seule solution, c’est comme s’il y avait 2 solutions confondues, c’est pour cela qu’on dit que c’est une racine DOUBLE.

Factorisation de polynômes

Une fois que tu as calculé les racines d’un polynôme, il y a quelque chose de très simple que tu peux faire : factoriser le polynôme !

Le principe est le suivant : supposons que tu as f(x) = ax² + bx + c, et que tu as calculé les 2 racines x₁ et x₂

Tu peux alors dire que :

f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

 

Ainsi, quand tu dois factoriser un polynôme, il suffit de calculer les racines puis d’appliquer la formule ci-dessus.
Evidemment si le polynôme n’a pas de racine on ne peut pas factoriser le polynôme

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ATTENTION !! Ne pas oublier le a dans la formule !!!
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Exemple : f(x) = 4x² – 4x – 24.
On calcule d’abord les racines : Δ = b² – 4ac – = (-4)² – 4 × 4 × (-24) = 400
400 > 0 donc il y a 2 racines :
x₁ = (-b + √Δ)/2a = 3
x₂ = (-b – √Δ)/2a = -2
(tu peux t’amuser à développer le calcul pour vérifier )

On a alors plus qu’à appliquer la formule :
Comme f(x) = 4x² – 4x – 24, on a a = 4, d’où :

f(x) = a(x – x₁)(x – x₂) = 4(x – 3)(x – (-2)) = 4(x – 3)(x + 2)

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ATTENTION !! Dans l’exemple il y a une racine négative (-2), donc au final on a x « + » 2.
Ce n’est pas parce qu’il y a x – x₁ ou x – x₂ dans la formule qu’on aura forcément « – » au final, tout dépend des signe de x₁ et de x₂.
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Si maintenant Δ < 0, que se passe-t-il ? Et bien on a vu qu'à ce moment-là il n'y a pas de racine donc il n'y a pas de forme factorisée !!

Si Δ < 0: il n'y a pas de forme factorisée

Si Δ = 0, on a dit qu’il n’y avait qu’une seule racine : x₁.
Et bien comme on a dit que c’était une racine DOUBLE, en fait le x₂ est égal au x₁.
On a donc f(x) = a(x – x₁)(x – x₁)
Ce qui donne f(x) = a(x – x₁)²
Ainsi :

Si Δ = 0; f(x) = a(x - x₁)²
 

Tableau de signe

Cas de 0 ou 1 solution

On remarque que tout dépend du signe de a !
Si a est positif, la fonction est positive.
Si a est négatif, la fonction est négative !!

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Attention à bien mettre la valeur pour laquelle la fonction s’annule dans le cas où il y a 1 solution.

Cas de 2 solutions

On peut en déduire une propriété valable pour tous les cas :

Un polynôme du second dégré est du signe de a sauf entre ses racines

 

Sommet de la parabole et tableau de variation

Pour chaque parabole, il y a ce qu’on appelle le sommet, c’est-à-dire le point où la fonction est maximum ou minimum :

Ce point est souvent noté S.
L’abscisse de ce point, que nous noterons donc x_S, a pour formule :

On remarque que c’est la formule de tout à l’heure pour le cas où il n’y avait qu’une racine
Graphiquement ça donne cela :

Si a > 0, la fonction est décroissante sur ]-∞ ; x_S[, et croissante sur ]x_S ; +∞[
Si a < 0, la fonction est croissante sur ]-∞ ; x_S[, et décroissante sur ]x_S ; +∞[ 

On peut donc construire les tableaux de variations dans les 2 cas :

La forme canonnique

C’est une autre manière d’écrire un polynôme du second degré.
On a vu qu’il y avait la forme développée, la forme factorisée et enfin nous allons voir la forme canonique. La formule est la suivante :

f(x) = a(x - α) + β

 

α et ce β correspondent aux coordonnées du sommet de la parabole (que l’on a vu juste avant).

Ainsi :

β = f(α)

 

Imaginons que l’on ait f(x) = 3x² + 4x – 5
On a donc a = 3, b = 4 et c = -5
On va d’abord calculer α, puis β, et enfin remplacer tout ça dans la formule.

Puis on calcule β :

β = f(α)

 

Il ne reste plus qu’à remplacer dans la formule :

Et voilà, on a trouvé la forme canonique de la fonction f 

Intérêt des polynômes

Les polynômes se trouvent souvent dans les études de fonctions, ce sont des fonctions « de base ».
Les polynômes du second degré sont surtout intéressants à étudier car on peut calculer leur sommet, leurs variations, leurs racines, leurs signes, etc… d’une manière simple, une fois qu’on connaît la méthode, contrairement aux fonctions de degré supérieur.

De plus, on retrouve les polynômes du second degré en physique, notamment en Terminale quand on étudie la trajectoire d’un projectile. En effet, si tu lances une balle devant toi vers le haut, elle aura une trajectoire parabolique, et on aura donc une équation du secon degré.

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2016-11-04 09:03:31 / mazoughou@magoe.gn