PERMUTATIONS

    Avec n objets différents, combien de façons de les poser les uns à côté des autres?

    Avec 5 personnes, combien de façons de s'assoir sur un banc?

    Avec 52 cartes, combien de paquets de cartes peut-on former?

Avec 2 objets

2 possibilités

Avec 3 objets

6 possibilités

3 possibilités pour le 1^er, puis

2 possibilités pour le 2^e, et

1 seule possibilité pour le 3^e.

P = 3 x 2 x 1 = 3! = 6

Avec 4 objets

24 possibilités

4 possibilités pour le 1^er, puis

3 possibilités pour le 2^e, et

…

P = 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24

Le graphe montre la logique de construction des 6 permutations à partir du 1.

Cela se reproduisant pour chacun des quatre nombres. Soit 4 x 6 = 24 permutations au total.

En changeant le premier nombre, ce tableau se répète quatre fois.

Un fois ce premier nombre positionné, il y a trois possibilités pour le deuxième nombre, puis seulement deux possibilités pour le troisième; le quatrième étant le nombre qui reste.

ARRANGEMENTS

    Nous savons permuter  (mélanger) les cartes, maintenant nous en prenons quelques unes, l'une après l'autre, dans l'ordre. Nous nous retrouvons devant combien de possibilités?

    La même logique s'applique. Prenons 3 objets parmi 10 objets différents

      nous avons le choix parmi 10 pour la 1^ère

      puis un choix parmi 9 pour la 2^e

      et enfin, un choix parmi 8 pour la 3^e

      Bilan: A = 10 x 9 x 8 = 720

      Notons que le dernier chiffre est 8 = 10 – 3 + 1

    Une permutation est donc un arrangement complet: de toutes les cartes parmi toutes les cartes.

    Avec un arrangement, il y a (n – p) fois moins de cas que pour une permutation.

Permutations

de n objets

COMBINAISONS

    Et si nous abandonnions l'ordre des objets?

    Nous puisons 3 objets dans le sac de 10 objets différents. Combien de possibilités, quel que soit l'ordre d'arrivée des objets ?

    Considérons tous les arrangements possibles. Nous en avons un certain nombre qui répondent à notre besoin. Ce sont tous les cas où les 3 objets sont finalement les mêmes. Ce sont toutes les permutations de ces 3 objets, soit 3! = 6 cas.

    Au bilan parmi tous les arrangements de 3 parmi 10, nous supprimons tous les cas comportant les 3 mêmes objets.

Combinaisons

de n objets

Exemples

Valeurs pour n de 3 à 10 et  p  de 3 à 5

Lecture: avec n = 6 objets, il y a 720 permutations (P);

120 arrangements (A) de p = 3 objets, 360 avec p = 4 et 720 avec p = 5;

  20 combinaisons (C) de p = 3 objets, 15 avec p = 4 et 6 avec p = 5.

Exemples divers :