À RETENIR  ·  Objectifs du chapitre

• Déterminer le domaine de validité d'une équation.
• Reconnaître des équations équivalentes et éviter les solutions parasites.
• Résoudre les équations usuelles : 1er et 2nd degré, produit et quotient nuls, valeur absolue, racine carrée, bicarrées.
• Discuter une équation selon les valeurs d'un paramètre.
• Résoudre une équation graphiquement et prouver l'existence d'une solution, puis l'approcher par dichotomie.

DÉFINITION  ·  Équation, inconnue, solution

Une équation d'inconnue x est une égalité de la forme A(x)=B(x), où A(x) et B(x) sont deux expressions dépendant de x. A(x) est le premier membre, B(x) le second membre.

Un réel a est une solution de l'équation si l'égalité A(a)=B(a) est vraie.

Résoudre une équation, c'est trouver toutes ses solutions. On note S l'ensemble des solutions.

EXEMPLE

Pour l'équation x² = 2x + 3 :

• 3 est solution car 3² =9 et 2×3 + 3 = 9 ;
• 1 n'est pas solution car 1² = 1 et 2×1 + 3 = 5.

On montrera plus loin que S={-1 ; 3}.

DÉFINITION  ·  Domaine de validité

Le domaine de validité D d'une équation est l'ensemble des réels x pour lesquels les deux membres existent. On ne cherche les solutions que dans D.

On exclut en particulier les valeurs qui annulent un dénominateur et celles qui rendent négatif un nombre sous une racine carrée.

EXEMPLE  ·  Déterminer un domaine de validité

Équation :

• dénominateur : x - 2 ≠ 0, donc x ≠ 2 ;
• racine : x + 3 ≥0, donc x ≥ -3 .

Donc D = [−3 ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[.

DÉFINITION  ·  Équations équivalentes

Deux équations sont équivalentes sur un ensemble D si elles ont le même ensemble de solutions dans D. On écrit (E1) ⟺ (E2).

PROPRIÉTÉ  ·  Transformations qui conservent l'équivalence

Sur le domaine de validité D, on obtient une équation équivalente en :

• ajoutant ou retranchant une même expression définie sur D aux deux membres ;
• multipliant ou divisant les deux membres par une même expression qui ne s'annule pas sur D ;
• appliquant aux deux membres une fonction strictement monotone (par exemple : A=B ⟺ A³ = B³) ;
• élevant au carré deux membres de même signe : si A ≥ 0 et B ≥ 0, alors A=B ⟺ A² = B².

ATTENTION  ·  Implication n'est pas équivalence

Élever au carré des membres de signes quelconques donne seulement une implication : A=B ⟹ A² = B². On peut alors obtenir des solutions parasites, qu'il faut éliminer en vérifiant chaque valeur trouvée.

Exemple : . En élevant au carré : x+2 = x², soit x² - x - 2 = 0, d'où x=2 ou x=-1.

Vérification : pour x=2,  ✔ ; pour x=-1,  ✘. Donc S={2}.

MÉTHODE  ·  Démarche générale de résolution

Cas

Ensemble des solutions

a≠0

Une unique solution :

a=0 et b=0

Tout réel est solution :

a=0 et b≠0

Aucune solution : S=∅

PROPRIÉTÉ  ·  Équation produit nul

A(x)×B(x)=0  ⟺  A(x)=0  ou  B(x)=0

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

PROPRIÉTÉ  ·  Équation quotient nul

  et  B(x)≠0

EXEMPLE

Résoudre l'équation suivante, de domaine de validité x ≠ -4 :

(x-1)(2x+3)=0 ⟺ x=1 ou . Ces deux valeurs sont différentes de -4, donc .

Signe de Δ

Solutions

Factorisation

Δ>0

 et

a(x-x₁)(x-x₂)

Δ=0

 (solution double)

a(x - x₀)²

Δ<0

Aucune solution réelle : S=∅

Pas de factorisation

PROPRIÉTÉ  ·  Somme et produit des solutions

Si Δ≥0, les solutions x₁ et x₂ vérifient :

          et         

Astuce : si l'on connaît une solution évidente x₁, on obtient l'autre par .

EXEMPLE

x² - 2x - 3 = 0 : Δ = (-2)² -4×1×(-3) = 16 >0, donc  et .

S={-1 ; 3}. Vérification :  et  ✔

PROPRIÉTÉ  ·  Règles de résolution

• Si k<0 : ∣A∣=k n'a aucune solution.
• Si k≥0 : ∣A∣=k ⟺ A=k ou A=-k.
• ∣A∣=∣B∣ ⟺ A=B ou A=-B.

PROPRIÉTÉ  ·  Règles de résolution

  et  A=B²

  et  A=B

La condition  remplace la vérification finale : elle élimine directement les solutions parasites.

MÉTHODE  ·  Résoudre ax⁴ + bx² + c = 0

1. On pose X=x² (avec ) : l'équation devient aX² + bX + c = 0.
2. On résout cette équation du second degré en X.
3. On ne garde que les valeurs , puis on résout x² =X, soit  ou .

EXEMPLE

x⁴ - 5x² + 4 = 0. On pose X = x² : X² -5X + 4 =0, d'où X=1 ou X=4 (toutes deux positives).

 et . Donc S={-2 ; -1 ; 1 ; 2}.

EXEMPLE  ·  Discussion d'une équation du premier degré

(E_m) : mx + 2 = x + m ⟺ (m-1)x = m-2.

• Si m≠1 : une unique solution .
• Si m=1 : l'équation devient 0×x = -1, impossible : S=∅.

EXEMPLE  ·  Discussion d'une équation du second degré

(E_m) : x²- 2x +m = 0. On calcule Δ=4-4m=4(1-m).

PROPRIÉTÉ

Les solutions de l'équation f(x)=g(x) sont les abscisses des points d'intersection des courbes C_f et C_g.

EXEMPLE  ·  Du graphique au calcul

Le graphique donne deux solutions proches de -0,64 et 3,14. Par le calcul : x² - 2x - 1 = (1/2)x+1 ⟺ 2x² - 5x -4 = 0 ; Δ=25+32=57.

, soit environ {-0,64 ; 3,14} ✔

MÉTHODE  ·  Déterminer le nombre de solutions de f(x) = k

1. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
2. Comparer k aux valeurs des extremums (ici f(-1) = 2 et f(1) = -2).
3. Compter les intersections de la droite y=k avec la courbe sur chaque intervalle de monotonie.

THÉORÈME  ·  Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l'équation f(x)=0 admet une unique solution α dans ]a ; b[.

MÉTHODE  ·  La dichotomie

1. On part d'un intervalle [a ; b] contenant α : f(a) et f(b) sont de signes contraires.
2. On calcule f(m) avec , le milieu de l'intervalle.
3. On garde la moitié où f change de signe, et on recommence jusqu'à la précision voulue. À chaque étape, l'amplitude est divisée par 2.

Étape

Intervalle

Milieu m

Signe de f(m)

Nouvel intervalle

1

[1 ; 2]

1,5

f(1,5) = -0,125 < 0

[1,5 ; 2]

2

[1,5 ; 2]

1,75

f(1,75) ≈ 1,61 > 0

[1,5 ; 1,75]

3

[1,5 ; 1,75]

1,625

f(1,625) ≈ 0,67 > 0

[1,5 ; 1,625]

Type d'équation

Méthode clé

Toute équation

Commencer par le domaine de validité D

A(x)×B(x)=0

A(x)=0 ou B(x)=0

A(x)=0 et B(x)≠0

ax² + bx + c = 0

Discriminant Δ = b² - 4ac

∣A∣ = ∣B∣

A = B ou A = -B

 et A = B²

ax⁴ + bx² + c =0

Poser X=x² avec

Avec paramètre m

Discuter selon les valeurs de m

f(x)=g(x) graphiquement

Abscisses des points d'intersection

Pas de méthode algébrique

Théorème des valeurs intermédiaires, puis dichotomie

ATTENTION  ·  Les trois erreurs à éviter

• Oublier le domaine de validité.
• Diviser par une expression qui peut s'annuler, et perdre des solutions.
• Élever au carré sans vérifier, et garder des solutions parasites.