À RETENIR  ·  Objectifs du chapitre

• Connaître les coordonnées du symétrique d'un point par rapport à une droite verticale ou à un point.
• Démontrer qu'une droite d'équation x = a est un axe de symétrie d'une courbe.
• Démontrer qu'un point Ω(a ; b) est un centre de symétrie d'une courbe.
• Conjecturer un élément de symétrie sur un graphique, puis le démontrer.
• Utiliser une symétrie pour calculer des images et réduire l'étude d'une fonction.

PROPRIÉTÉ  ·  Symétrie axiale

Le symétrique du point M(x ; y) par rapport à la droite d'équation x=a est le point :

M'(2a-x ; y)

Explication : M et M' ont la même ordonnée, et la droite x=a passe au milieu de [MM']. L'abscisse a est donc la moyenne des abscisses : , d'où x' = 2a - x.

PROPRIÉTÉ  ·  Symétrie centrale

Le symétrique du point M(x ; y) par rapport au point Ω(a ; b) est le point :

M'(2a-x ; 2b-y)

Explication : Ω est le milieu de [MM'], donc  et .

EXEMPLE

• Le symétrique de M(1 ; 3) par rapport à la droite x=3 est M'(2×3-1 ; 3), soit M'(5 ; 3).
• Le symétrique de M(1 ; 1) par rapport à Ω(3 ; 2,5) est M'(6-1 ; 5-1), soit M'(5 ; 4).

THÉORÈME  ·  Droite d'équation x = a

Soit f une fonction d'ensemble de définition Df. La droite d'équation x=a est un axe de symétrie de la courbe Cf si et seulement si :

1. Df est symétrique par rapport à a : si x ∈ Df, alors 2a-x ∈ Df ;
2. pour tout x de Df :

f(2a - x) = f(x)

PROPRIÉTÉ  ·  Forme équivalente avec h

En posant x = a + h, la condition devient : pour tout h tel que a+h et a-h sont dans Df,

f(a - h) = f(a + h)

Deux points placés à la même distance h de part et d'autre de a ont la même image. Cette forme rend souvent les calculs plus simples.

EXEMPLE  ·  Exemple 1 : f(x) = x² − 4x + 1

Df=R est symétrique par rapport à 2. Montrons que la droite x=2 est un axe de symétrie :

f(4 - x) = (4 - x)² - 4(4 - x) + 1 = 16 - 8x + x² - 16 + 4x + 1 = x² - 4x + 1 = f(x)

Donc la droite d'équation x = 2 est un axe de symétrie de la parabole.

EXEMPLE  ·  Exemple 2 : le même calcul avec h

f(2 + h) = (2 + h)² -  4(2 + h) + 1 = 4 + 4h + h² - 8 - 4h + 1 = h² - 3

f(2 - h) = (2 - h)² - 4(2 - h) + 1 = 4 - 4h + h² - 8 + 4h + 1 = h² - 3

On a bien f(2 - h) = f(2 + h) : on retrouve le résultat de l'exemple 1.

EXEMPLE  ·  Exemple 3 : g(x) = 1/(x² − 2x + 2)

x² - 2x + 2 = (x - 1)² + 1 ne s'annule jamais, donc Dg=R. Montrons que la droite x=1 est un axe de symétrie :

(2 - x)² - 2(2 - x) + 2 = 4 - 4x + x² - 4 + 2x + 2 = x² - 2x + 2

Donc g(2-x)=g(x) : la droite d'équation x=1 est un axe de symétrie.

PROPRIÉTÉ  ·  Cas de la parabole

La courbe de toute fonction trinôme f(x) = ax² + bx + c admet pour axe de symétrie la droite d'équation :

C'est la droite verticale qui passe par le sommet de la parabole.

THÉORÈME  ·  Point Ω(a ; b)

Le point Ω(a ; b) est un centre de symétrie de la courbe Cf si et seulement si :

1. Df est symétrique par rapport à a ;
2. pour tout x de Df :

f(2a - x) + f(x) = 2b

PROPRIÉTÉ  ·  Forme équivalente avec h

Pour tout h tel que a+h et a-h sont dans Df :

f(a-h) + f(a+h) = 2b

Autrement dit, la moyenne des images de a-h et de a+h est toujours égale à b.

EXEMPLE  ·  Exemple 1 : f(x) = x³ − 3x² + 1

Df=R. Montrons que Ω(1 ; -1) est un centre de symétrie, en calculant avec h :

f(1+h) = (1+h)³ - 3(1+h)² + 1

             = 1 + 3h + 3h² + h³ - 3 - 6h - 3h² + 1

             = h³ - 3h - 1

f(1-h) = (1-h)³ - 3(1-h)² + 1

           =1 - 3h + 3h² - h³ - 3 + 6h - 3h² + 1

           = -h³ + 3h - 1

f(1-h) + f(1+h) = -2

= 2×(-1)

Donc Ω(1 ; -1) est un centre de symétrie de la courbe.

EXEMPLE  ·  Exemple 2 : g(x) = (2x + 1)/(x − 1)

Dg est ℝ privé de 1, qui est symétrique par rapport à 1. Montrons que Ω(1 ; 2) est un centre de symétrie :

Donc Ω(1 ; 2) est un centre de symétrie de la courbe.

Élément de symétrie

Condition générale

Cas a = 0 et b = 0

Axe : droite x=a

f(2a-x)=f(x)

f(-x)=f(x) : fonction paire, axe (Oy)

Centre : point Ω(a ; b)

f(2a-x)+f(x)=2b

f(-x)=-f(x) : fonction impaire, centre O

MÉTHODE  ·  Démontrer un élément de symétrie

1. Conjecturer l'axe ou le centre en observant la courbe (calculatrice ou tracé).
2. Vérifier que Df est symétrique par rapport à a.
3. Calculer f(2a-x), ou bien f(a+h) et f(a-h).
4. Comparer : pour un axe, on doit trouver f(x) ; pour un centre, la somme doit valoir 2b.
5. Conclure par une phrase.

ATTENTION  ·  Choisir la bonne écriture

• Pour un polynôme, la forme avec h est souvent plus rapide : beaucoup de termes s'annulent.
• Pour une fraction, la forme avec 2a-x permet de mettre les deux fractions au même dénominateur.
• Un tracé permet de conjecturer, mais seul le calcul démontre.

EXEMPLE

La droite x=2 est un axe de symétrie de la courbe de f(x) = x² - 4x + 1. Comme f(2a-x)=f(x) avec a=2 :

• f(-1)=f(5), car -1 et 5 sont symétriques par rapport à 2 ;
• il suffit d'étudier f sur [2 ; +∞[ et de compléter la courbe par symétrie.

EXEMPLE

Ω(1 ; -1) est un centre de symétrie de la courbe de f(x) = x³ - 3x² + 1. On connaît f(3)=1. Avec f(2-x)+f(x)=-2, on obtient :

f(-1)=-2-f(3)=-3

Axe de symétrie x = a

Centre de symétrie Ω(a ; b)

Symétrique de M(x ; y)

M'(2a-x ; y)

M'(2a-x ; 2b-y)

Condition sur Df

Symétrique par rapport à a

Symétrique par rapport à a

Égalité à démontrer

f(2a-x)=f(x)

f(2a-x)+f(x)=2b

Forme avec h

f(a-h)=f(a+h)

f(a-h)+f(a+h)=2b

Cas particulier

a=0 : fonction paire

a=b=0 : fonction impaire

ATTENTION  ·  Les erreurs à éviter

• Oublier de vérifier que Df est symétrique par rapport à a, et non par rapport à 0.
• Pour un centre, oublier de comparer la somme à 2b, et non à b.
• Faire une erreur de signe en développant : mettez toujours 2a-x ou a-h entre parenthèses.
• Considérer une conjecture faite sur un graphique comme une démonstration.