À RETENIR  ·  Objectifs du chapitre

• Comprendre ce qu'est une fonction et utiliser le vocabulaire : variable, image, antécédent.
• Passer d'une représentation à une autre : formule, tableau de valeurs, courbe.
• Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction.
• Lire des images et des antécédents sur une courbe.
• Décrire le sens de variation d'une fonction et dresser son tableau de variation.
• Utiliser les fonctions pour modéliser des situations économiques.

DÉFINITION  ·  Fonction

Une fonction f est un procédé qui, à chaque nombre x d'un ensemble D, associe un unique nombre, noté f(x).

On écrit : f : x⟼f(x), et on lit « f est la fonction qui à x associe f(x) ».

EXEMPLE  ·  La machine de la page de garde

La fonction f « élève au carré puis ajoute 1 » s'écrit f(x) = x² + 1.

• Pour x=3 : f(3) = 3² + 1 = 10.
• Pour x=-2 : f(-2) = (-2)² + 1 = 5.
• Pour x=0 : f(0) = 0² + 1 = 1.

Mot

Signification

Exemple avec f(x) = x² + 1

Variable

Le nombre de départ, noté x

x peut prendre n'importe quelle valeur réelle

Image

Le nombre d'arrivée f(x), toujours unique

L'image de 3 est f(3)=10

Antécédent

Un nombre de départ qui donne une image donnée

3 et −3 sont des antécédents de 10

Expression

La formule qui définit f

x² + 1

ATTENTION  ·  Image unique, antécédents multiples

Un nombre a toujours une seule image. En revanche, un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. Avec f(x) = x² + 1 :

• 10 a deux antécédents : 3 et −3 ;
• 1 a un seul antécédent : 0 ;
• 0 n'a aucun antécédent, car x² + 1 ≥ 1 pour tout réel x.

MÉTHODE  ·  Calculer

• Image de a : on remplace x par a dans l'expression et on calcule f(a).
• Antécédents de b : on résout l'équation f(x)=b.

EXEMPLE  ·  Avec g(x) = 3x − 5

L'image de 4 est g(4)=3×4-5=7.

Pour trouver l'antécédent de 1, on résout 3x-5=1, soit 3x=6 et x=2. L'antécédent de 1 est 2.

Notion

À retenir

Fonction

À chaque x de Df correspond une unique image f(x)

Image de a

On calcule f(a), ou on lit l'ordonnée du point d'abscisse a

Antécédents de b

On résout f(x)=b, ou on lit les abscisses des points d'ordonnée b

Ensemble de définition

Pas de dénominateur nul, pas de nombre négatif sous une racine

Courbe

M(a ; b) ∈ C_f si et seulement si f(a)=b

Variations

Croissante : la courbe monte ; décroissante : elle descend

ATTENTION  ·  Les erreurs à éviter

• Confondre image et antécédent : l'image se lit sur l'axe des ordonnées, l'antécédent sur l'axe des abscisses.
• Oublier les parenthèses : f(-2) avec x² donne (-2)² = 4, et non -4.
• Oublier de chercher les valeurs interdites (dénominateur nul, racine d'un nombre négatif).
• Dire qu'une fonction est croissante parce que ses valeurs sont positives : la croissance décrit l'évolution, pas le signe.