À RETENIR  ·  Objectifs du chapitre

• Comprendre le vocabulaire des inéquations et écrire les solutions sous forme d'intervalles.
• Appliquer les règles de transformation, en particulier le changement de sens.
• Résoudre une inéquation du premier degré et un système d'inéquations.
• Utiliser un tableau de signes pour les inéquations produit et quotient.
• Résoudre une inéquation du second degré grâce au signe du trinôme.
• Résoudre des problèmes économiques : choix d'une offre, budget, zone de bénéfice.

DÉFINITION  ·  Inéquation et solution

Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue. Elle utilise l'un des symboles < (strictement inférieur), ≤ (inférieur ou égal), > (strictement supérieur) ou ≥ (supérieur ou égal).

Une solution est une valeur de l'inconnue qui rend l'inégalité vraie. Une inéquation a en général une infinité de solutions : on les écrit sous forme d'intervalle.

EXEMPLE  ·  Tester des valeurs

Dans l'inéquation 2x - 1 > 5 :

• x=4 est solution, car 2×4 - 1=7 et 7 > 5 ;
• x=3 n'est pas solution, car 2×3 - 1=5 et 5 n'est pas strictement supérieur à 5.

On verra que les solutions sont tous les réels strictement supérieurs à 3.

Inégalité

Intervalle

Se lit

x>a

]a ; +∞[

x strictement supérieur à a

x≥a

[a ; +∞[

x supérieur ou égal à a

x < b

]−∞ ; b[

x strictement inférieur à b

x≤b

]−∞ ; b]

x inférieur ou égal à b

a≤x≤b

[a ; b]

x compris entre a et b, bornes incluses

PROPRIÉTÉ  ·  Ce qui ne change pas le sens de l'inégalité

1. Ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres.
2. Multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre strictement positif.

ATTENTION  ·  Ce qui change le sens de l'inégalité

Quand on multiplie ou qu'on divise les deux membres par un nombre strictement négatif, on doit changer le sens de l'inégalité : < devient >, et ≤ devient ≥.

MÉTHODE  ·  Résoudre une inéquation du premier degré

1. Développer et supprimer les dénominateurs si besoin.
2. Regrouper les termes en x dans un membre, les nombres dans l'autre.
3. Diviser par le coefficient de x, en changeant le sens s'il est négatif.
4. Écrire les solutions sous forme d'intervalle.

EXEMPLE  ·  Deux exemples

a) 3x-5<7 ⟺ 3x<12 ⟺ x<4. Donc S = ]−∞ ; 4[.

b) -2x+6≥0 ⟺ -2x≥-6 ⟺ x≤3 (on divise par -2 : le sens change). Donc S = ]−∞ ; 3].

EXEMPLE  ·  Application : le budget

Un élève dispose de 50 000 GNF. Il achète un livre à 20 000 GNF et veut acheter des cahiers à 3 000 GNF l'unité. Combien de cahiers peut-il acheter au maximum ?

Soit x le nombre de cahiers : 20 000+3 000x ≤ 50 000 ⟺ 3 000x ≤ 30 000 ⟺ x ≤10.

Il peut acheter au maximum 10 cahiers.

DÉFINITION  ·  Système d'inéquations à une inconnue

Résoudre un système d'inéquations, c'est trouver les valeurs qui vérifient toutes les inéquations à la fois. On résout chaque inéquation, puis on prend l'intersection des intervalles obtenus.

EXEMPLE

Résoudre le système : 2x-1>3 et x+4≤10.

• 2x-1>3 ⟺ 2x>4 ⟺ x>2 ;
• x+4≤10 ⟺ x≤6.

Les deux conditions sont vraies en même temps pour 2 < x <= 6. Donc S = ]2 ; 6].

PROPRIÉTÉ  ·  Signe d'une expression du premier degré

L'expression ax+b (avec a≠0) s'annule pour x=-ba. Elle est du signe de a à droite de cette valeur, et du signe contraire à gauche.

EXEMPLE  ·  Signe de 2x − 6 et de −x + 4

2x-6=0 pour x=3, et a=2>0. De même, -x+4=0 pour x=4, et a=-1<0.

MÉTHODE  ·  Utiliser un tableau de signes

1. Ramener l'inéquation à la forme « expression comparée à 0 ».
2. Chercher les valeurs qui annulent chaque facteur, et les valeurs interdites pour un quotient.
3. Dresser le tableau de signes. Le signe d'un produit ou d'un quotient se trouve avec la règle des signes.
4. Lire les intervalles qui conviennent.

EXEMPLE  ·  Inéquation produit : (x − 2)(x + 3) ≥ 0

x-2=0 pour x=2 et x+3=0 pour x=-3.

Le produit est positif ou nul pour x≤-3 ou x≥2. Donc S = ]−∞ ; −3] ∪ [2 ; +∞[.

EXEMPLE  ·  Inéquation quotient : (x − 1)/(x + 2) < 0

La valeur x=-2 est interdite, car elle annule le dénominateur. Elle est marquée par une double barre ‖ dans le tableau.

Le quotient est strictement négatif pour -2 < x < 1. Donc S = ]−2 ; 1[.

THÉORÈME  ·  Signe du trinôme ax² + bx + c

Le trinôme est du signe de a, sauf entre ses racines (quand elles existent), où il est du signe contraire de a.

• Si Δ>0 : deux racines x₁ < x₂. Signe contraire de a entre elles, signe de a à l'extérieur.
• Si Δ=0 : signe de a partout, sauf en la racine double où il est nul.
• Si Δ<0 : signe de a pour tout réel x.

EXEMPLE  ·  Résoudre x² − 5x + 6 ≤ 0

Δ=25-24=1, donc les racines sont x₁ = 2 et x₂ = 3. Comme a=1>0, le trinôme est négatif entre les racines.

Donc S = [2 ; 3].

EXEMPLE  ·  Application : quand l'entreprise fait-elle un bénéfice ?

Le bénéfice d'une entreprise, en milliers de GNF, pour x unités produites, est B(x)=-x² + 120x - 2 000. On cherche quand B(x)>0.

Δ=14 400-8 000=6 400=802, donc les racines sont  et .

Comme a=-1<0, B(x) est positif entre les racines : l'entreprise est bénéficiaire pour une production comprise strictement entre 20 et 100 unités.

PROPRIÉTÉ  ·  Interprétation graphique

Les solutions de f(x)≤g(x) sont les abscisses des points où la courbe de f est au-dessous de celle de g (ou la coupe). Pour f(x)≥g(x), on cherche où elle est au-dessus.

EXEMPLE  ·  Choisir la meilleure offre téléphonique

L'offre A coûte 10 000 GNF d'abonnement plus 500 GNF par minute. L'offre B coûte 1 000 GNF par minute, sans abonnement. Pour quelle durée d'appel x l'offre A est-elle moins chère ?

On résout 10 000+500x < 1 000x ⟺ 10 000 < 500x ⟺ x > 20.

L'offre A est plus avantageuse au-delà de 20 minutes d'appel par mois. En dessous, il vaut mieux choisir l'offre B (voir le graphique de la page de garde).

Situation

Méthode

Premier degré

Isoler x ; changer le sens si on divise par un nombre négatif

Système d'inéquations

Résoudre chaque inéquation, puis prendre l'intersection

Produit ou quotient

Tableau de signes et règle des signes ; valeurs interdites (‖) pour un quotient

Second degré

Signe de a à l'extérieur des racines, signe contraire entre elles

Graphique f(x)≤g(x)

Abscisses où la courbe de f est sous celle de g

Problème concret

Inconnue → inéquation → résolution → réponse cohérente avec la situation