À RETENIR  ·  Objectifs du chapitre

• Reconnaître un trinôme du second degré et l'écrire sous forme canonique.
• Résoudre une équation du second degré avec le discriminant Δ ou le discriminant réduit Δ'.
• Utiliser la somme et le produit des racines.
• Factoriser un trinôme et étudier son signe pour résoudre une inéquation.
• Résoudre des équations qui se ramènent au second degré, discuter selon un paramètre.
• Résoudre une équation du second degré dans ℂ lorsque Δ < 0.

DÉFINITION  ·  Trinôme du second degré

On appelle trinôme du second degré toute expression de la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des réels avec a≠0.

Une équation du second degré est une équation qui peut s'écrire ax² + bx + c = 0 avec a≠0. Ses solutions sont appelées les racines du trinôme.

Expression

a

b

c

Second degré ?

3x² - 5x + 2

3

-5

2

Oui

-x² + 4

-1

0

4

Oui

1/2

7

0

Oui

(x-1)² - x²

—

—

—

Non : cela vaut -2x+1

ATTENTION  ·  Toujours développer et ordonner

Avant d'identifier a, b et c, on écrit l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0 : tout le monde dans le premier membre, zéro dans le second.

PROPRIÉTÉ  ·  Forme canonique

Tout trinôme ax² + bx + c (avec a≠0) peut s'écrire sous la forme canonique :

ax² + bx + c = a(x-α)² + β    avec        et   

où Δ = b² - 4ac. Le point S(α ; β) est le sommet de la parabole d'équation y = ax² + bx + c.

MÉTHODE  ·  D'où vient la forme canonique ?

On factorise par a, puis on reconnaît le début d'une identité remarquable :

Donc :

EXEMPLE  ·  Écrire sous forme canonique

f(x)=2x² - 8x + 6 = 2(x² - 4x) + 6 = 2[(x - 2)² - 4] + 6 = 2(x - 2)² - 2.

Le sommet est S(2 ; -2). Et f(x)=0 ⟺ (x-2)² =1 ⟺ x-2=1 ou x-2=-1, donc S={1 ; 3}.

DÉFINITION  ·  Discriminant

Le discriminant du trinôme ax² + bx + c est le nombre réel :

Δ = b² - 4ac

Son signe détermine le nombre de solutions de l'équation ax² + bx + c = 0.

THÉORÈME  ·  Résolution dans ℝ

EXEMPLE  ·  Trois exemples, trois cas

a) 2x₂ - 5x + 2 = 0 : Δ=(-5)² - 4×2×2 = 25 - 16 = 9 > 0.

 et . Donc S={1/2 ; 2}.

b) 4x² - 12x + 9 = 0 : Δ = 144 - 144 = 0. Solution double . Donc S={3/2}.

c) x² + x + 1 = 0 : Δ = 1 - 4 = - 3 < 0. Donc S=∅ dans ℝ.

PROPRIÉTÉ  ·  Discriminant réduit

Lorsque b=2b', on calcule plus simplement Δ' = b'² - ac, qui a le même signe que Δ (car Δ=4Δ'). Si Δ' ≥ 0 :

        et       

Exemple : x² - 6x + 7 = 0 ; b'=-3, Δ'=9-7=2>0, donc .

Cas

Méthode

Exemple

c=0 : ax² + bx = 0

Factoriser par x : x(ax+b)=0

2x² + 5x = 0 ⟺ x=0 ou x=-5/2

b=0 : ax² +c=0

Isoler x² : x² = -c/a

3x² - 12=0 ⟺ x² = 4 ⟺ x=±2

Identité remarquable

Reconnaître (px+q)² = 0

x² - 10x + 25 = 0 ⟺ (x-5)² = 0 ⟺ x=5

PROPRIÉTÉ  ·  Relations entre coefficients et racines

Si Δ≥0, les racines x₁ et x₂ de ax² + bx + c = 0 vérifient :

S = x₁ + x₂ = - b/a            P = x₁×x₂ = c/a

MÉTHODE  ·  Racine évidente

• Si a+b+c=0, alors x₁ =1 est racine, et x₂ = c/a.
• Si a-b+c=0, alors x₁ =-1 est racine, et x₂ = -c/a.

Exemple : 3x2-7x+4=0. On a 3-7+4=0, donc x1=1 et x2=4/3, sans calculer Δ.

PROPRIÉTÉ  ·  Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Deux nombres de somme S et de produit P sont les solutions de l'équation :

x² - Sx + P=0

EXEMPLE  ·  Le jardin rectangulaire

Un jardin rectangulaire a un périmètre de 34 m et une aire de 60 m². Ses dimensions ont pour somme S=17 et pour produit P=60. Ce sont donc les solutions de x² - 17x + 60 = 0.

Δ=289-240=49, donc  ou . Le jardin mesure 12 m sur 5 m.

PROPRIÉTÉ  ·  Signe des racines (si Δ ≥ 0)

Remarque : si P<0, alors a et c sont de signes contraires, donc Δ=b² -4ac>0 automatiquement.

PROPRIÉTÉ  ·  Factorisation

• Si Δ>0 : ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
• Si Δ=0 : ax2+bx+c=a(x-x0)2.
• Si Δ<0 : le trinôme ne se factorise pas dans ℝ.

THÉORÈME  ·  Signe du trinôme

Le trinôme ax2+bx+c est du signe de a, sauf entre ses racines (lorsqu'elles existent), où il est du signe contraire de a.

Moyen mnémotechnique : « signe de a à l'extérieur des racines ».

EXEMPLE  ·  Résoudre une inéquation

Résoudre x2-x-6≤0. On a Δ=1+24=25, donc les racines sont x1=1-52=-2 et x2=1+52=3.

Comme a=1>0, le trinôme est négatif entre les racines : S = [−2 ; 3].

MÉTHODE  ·  ax⁴ + bx² + c = 0

1. On pose X=x2, avec X≥0.
2. On résout aX2+bX+c=0.
3. Pour chaque solution X≥0, on résout x2=X.

Exemple : x4-x2-12=0. Avec X=x2 : X2-X-12=0, Δ=49, d'où X=4 ou X=-3. On rejette X=-3<0. Donc x2=4 et S={-2 ; 2}.

EXEMPLE

Résoudre l'équation suivante, de domaine de validité x≠-1 :

x+5x+1=x-1

Sur ce domaine : x+5=(x-1)(x+1)=x2-1, soit x2-x-6=0, d'où x=-2 ou x=3. Ces deux valeurs sont différentes de -1 : S={-2 ; 3}.

EXEMPLE

Résoudre x+7=x+1. On utilise : A=B ⟺ B≥0 et A=B2.

Donc x≥-1 et x+7=x2+2x+1, soit x2+x-6=0 : x=2 ou x=-3. Seul x=2 vérifie x≥-1. Donc S={2}.

ATTENTION  ·  Le coefficient de x² peut s'annuler

Si le coefficient de x2 dépend de m, on étudie d'abord le cas où il est nul : l'équation est alors du premier degré.

EXEMPLE  ·  Discuter (m − 1)x² − 2mx + m + 2 = 0

Cas m=1 : l'équation devient -2x+3=0, d'où x=32.

Cas m≠1 : b'=-m, donc Δ'=m2-(m-1)(m+2)=m2-(m2+m-2)=2-m.

Notion

Formule ou méthode

Discriminant

Δ=b2-4ac ; si b=2b' : Δ'=b'2-ac

Δ>0

x1,2=-b±Δ2a

Δ=0

x0=-b2a

Δ<0

Pas de solution dans ℝ

Forme canonique

a(x-α)2+β avec α=-b2a, β=-Δ4a

Somme et produit

x1+x2=-ba et x1x2=ca

Racine évidente

a+b+c=0 : x=1 ; a-b+c=0 : x=-1

Signe du trinôme

Signe de a à l'extérieur des racines

Bicarrée

Poser X=x2 avec X≥0

ATTENTION  ·  Les erreurs à éviter

• Calculer Δ sans avoir mis l'équation sous la forme ax2+bx+c=0.
• Oublier les parenthèses : avec b=-5, b2=(-5)2=25 et non -25.
• Dans une discussion, oublier le cas où le coefficient de x2 s'annule.
• Dans une équation bicarrée, garder une valeur X<0.