PERMUTATIONS

• Avec n objets différents, combien de façons de les poser les uns à côté des autres?
• Avec 5 personnes, combien de façons de s'assoir sur un banc?
• Avec 52 cartes, combien de paquets de cartes peut-on former?

Avec 2 objets

2 possibilités

Avec 3 objets

6 possibilités

3 possibilités pour le 1^er, puis

2 possibilités pour le 2^e, et

1 seule possibilité pour le 3^e.

P = 3 x 2 x 1 = 3! = 6

Avec 4 objets

24 possibilités

4 possibilités pour le 1^er, puis

3 possibilités pour le 2^e, et

…

P = 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24

Le graphe montre la logique de construction des 6 permutations à partir du 1.

Cela se reproduisant pour chacun des quatre nombres. Soit 4 x 6 = 24 permutations au total.

En changeant le premier nombre, ce tableau se répète quatre fois.

Un fois ce premier nombre positionné, il y a trois possibilités pour le deuxième nombre, puis seulement deux possibilités pour le troisième; le quatrième étant le nombre qui reste.

ARRANGEMENTS

• Nous savons permuter  (mélanger) les cartes, maintenant nous en prenons quelques unes, l'une après l'autre, dans l'ordre. Nous nous retrouvons devant combien de possibilités?
• La même logique s'applique. Prenons 3 objets parmi 10 objets différents
  • nous avons le choix parmi 10 pour la 1^ère
  • puis un choix parmi 9 pour la 2^e
  • et enfin, un choix parmi 8 pour la 3^e
• Bilan: A = 10 x 9 x 8 = 720
• Notons que le dernier chiffre est 8 = 10 – 3 + 1
• Une permutation est donc un arrangement complet: de toutes les cartes parmi toutes les cartes.
• Avec un arrangement, il y a (n – p) fois moins de cas que pour une permutation.

Permutations

de n objets

COMBINAISONS

• Et si nous abandonnions l'ordre des objets?
• Nous puisons 3 objets dans le sac de 10 objets différents. Combien de possibilités, quel que soit l'ordre d'arrivée des objets ?
• Considérons tous les arrangements possibles. Nous en avons un certain nombre qui répondent à notre besoin. Ce sont tous les cas où les 3 objets sont finalement les mêmes. Ce sont toutes les permutations de ces 3 objets, soit 3! = 6 cas.
• Au bilan parmi tous les arrangements de 3 parmi 10, nous supprimons tous les cas comportant les 3 mêmes objets.

Combinaisons

de n objets

Exemples

Valeurs pour n de 3 à 10 et  p  de 3 à 5

Lecture: avec n = 6 objets, il y a 720 permutations (P);

120 arrangements (A) de p = 3 objets, 360 avec p = 4 et 720 avec p = 5;

  20 combinaisons (C) de p = 3 objets, 15 avec p = 4 et 6 avec p = 5.

Exemples divers :