Dans ce cours nous allons apprendre à étudier les variations d'une fonction afin de pouvoir dessiner sontableau de variation et connaître ses minimums et maximums sans avoir besoin de sa représentation graphique.

Nous étudierons ensuite quelques fonctions utiles.

Etude des variations d'une fonction

Méthode

Pour étudier les variations d'une fonction:

• 1. On calcule sa dérivée.
• 2. On étudie le signe de la dérivée avec une inéquation.
• 3. On dessine un tableau comme ceci :

  

• 4. On inscrit sur la première ligne les valeurs de x pour lesquelles f'(x) change de signe.
• 5. On remplit la deuxième ligne avec des + ou des -.
• 6. On remplit la troisième ligne avec des flèches qui montent lorsque f'(x)>0 ou qui descendent lorsque f'(x)<0.

Exemple

Sur la figure ci-dessus, nous avons besoin de connaitre les variations de la fonction f(x)=x(20-2x)(10-2x) afin de trouver la valeur de x permettant de construire une boite de volume maximal à partir d'un support rectangulaire de dimensions 20*10 cm.

La fonction f(x)=x(20-2x)(10-2x) s'écrit aussi f(x)=4x³-60x²+200x. 

Etude des variations

1. f'(x)=12x²-120x+200.

2. On doit résoudre l'inéquation 12x²-120x+200>0 (ou l'inéquation 12x²-120x+200<0).
C'est une inéquation du deuxième degré. Sa résolution nous amène au résultat suivant :
12x²-120x+20 est positif (+) sur  et négatif (-) sur .

3. 4. 5. et 6.

Solution du problème
On voit que sur l'intervalle [0;5] correspondant aux valeurs de x possibles pour construire la boîte, f est croissante de 0 à  puis décroissante de  à 5. Elle admet donc un maximum pour x=. C'est cette valeur (environ 2,11) que l'on doit utiliser pour dessiner le patron. On obtiendra un volume de  , soit 192,45cm³ (1,92 litre).
 

Fonctions usuelles

Fonction racine carrée

La fonction  est définie sur [0;+∞[ car il n'est pas possible de calculer la racine carrée d'un nombre strictement négatif.
Elle est toujours croissante car sa dérivée  est toujours positive.
 

Fonction cube

La fonction  est définie sur R car on peut toujours calculer le cube d'un nombre.

Comme sa dérivée est 3x² et que 3x² est toujours positif, la fonction cube est toujours croissante.