1. POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ

DÉFINITION

On appelle polynôme (ou trinôme) du second degrétoute expression pouvant se mettre sous la forme :

P(x) = ax² + bx + c

où a, b et c sont des réels avec a≠0

EXEMPLES

•  P(x) = 2x² + 3x - 5 est un polynôme du second degré.

•   P(x) = x² −1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q(x)=x−1 n’en est pas un car a n’est pas différent de zéro : c’est un polynôme du premier degré (ou une fonction affine)

•  P(x)=5(x−1)(3−2x) est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.

THÉORÈME ET DÉFINITION

Tout polynôme du second degré peut s’écrire sous la forme :

P(x)=a(x−α)​²â€‹â€‹+β

avec α=−​b/2a​​ et β=P(α)

Cette expression s’appelle forme canonique du polynôme P.

 

EXEMPLE

Soit P(x)=2x​²â€‹â€‹+4x+5

α=−​b/2a​​​​=−​4/2×2​​=−1

β=P(α)=P(−1)=2×(−1)^{​2​​}+4×(−1)+5=2−4+5=3

La forme canonique de P(x) est donc :

P(x)=2(x+1)^​2​​+3

2. EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

DÉFINITION

On appelle racine d’un polynôme P(x) une solution de l’équation P(x)=0

REMARQUE

Ne pas confondre les mots « racine » et « racine carrée » !

DÉFINITION

On appelle discriminant du polynôme P(x)=ax^{​2​​}+bx+c le nombre :

Δ=b​^{2​​}−4ac

THÉORÈME

•  Si Δ>0, le polynôme PP admet deux racines distinctes : 

• Si Δ=0, le polynôme P admet une racine unique : x_​0​​=​−b​​/2a​​

•  Si Δ<0, le polynôme PP n’admet aucune racine réelle.

• EXEMPLES

•  P_​1​​(x)=−x​²â€‹â€‹+3x−2

  Δ=9−4×(−1)×(−2)=1

  P_{​1​​} possède 2 racines :

•  P_​2​​(x)=x^​2​​−4x+4

  Δ=16−4×1×4=0

  P_​2​​ possède une seule racine :

•  P_​3​​(x)=x^{​2​​}+x+1

  Δ=1−4×1×1=−3

  P_​3​​ ne possède aucune racine.

3. INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

THÉORÈME

Soit P(x) un trinôme du second degré de discriminant \DeltaΔ.

•  Si Δ>0 : P(x) est du signe de a à l’extérieur des racines (c’est à dire si x x1​​ ou x>x​_{2​​} ) et du signe opposé entre les racines (si x_​1​​2​​). 

• Si Δ=0 : P(x) est toujours du signe de a sauf en x_​0​​(où il s’annule). 

• Si Δ<0 : P(x) est toujours du signe de a. 

EXEMPLES

Si l’on reprend les exemples précédents :

•  P_​1​​(x)=−x​^{2​​}+3x−2 :

  Δ>0 et a<0.  

• P_​2​​(x)=x^​2​​−4x+4 :

  Δ=0 et a>0.  

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• P_​3​​(x)=x^​2​​+x+1 :

  Δ<0 et a>0.  

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4. INTERPRÉTATION GRAPHIQUE

On rappelle que les solutions de l’équation f(x)=0 sont les abscisses des points d’intersection de la courbe C_​f​​ et de l’axe des abscisses.

En regroupant les propriétés de ce chapitre et celles vues en Seconde on peut résumer ces résultats dans le tableau :

 

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2016-09-04 16:02:23