Définition 1 :

Soit a, b et c trois nombres donnés. Toute équation de la forme ax + by = c est une équation linéaire à deux inconnues.     

Remarque : le couple solution de cette équation est le couple (x0 ; y0) tel que ax0 + bx0 = c.

Définition 2 : 

Soit a, b, c, a', b' et c' des réels donnés. Un système de deux équations linéaires à deux x et y est de la forme :

Remarque : soit le couple (x0 ; y0). Ce couple est solution du système si et seulement si (x0 ; y0) est solution de chacune des deux équations du système.

De façon générale, on appelle système de n équations linéaires à p inconnues (x₁, x₂, x₃, .... ,x_p) le système :

Ecriture matricielle

avec X_p et B_n deux matrices colonnes et A appelée matrice de transformation à n lignes et p colonnes.

Les coefficients a_ij Ïµ K ( K = R ou C ) avec 1 ≤ i ≤ n  et 1 ≤ j ≤ p .

Les bj Ïµ K  avec 1 ≤ i ≤ n  constituent le second membre de (S) .

Le système est dit homogène si bi = 0  et non homogène si bi¹0  .

Les lignes sont numérotées par (Li).

Définition

On appelle opérations élémentaires sur les lignes d'un système d'équations linéaires, les opérations suivantes :

• Multiplication par un scalaire k Ïµ K^* (Li) <---- k(Li)

• Permutation de deux lignes : (Li) << (Li) 

• Addition à une ligne, d'un multiple d'une autre ligne : (Li) <---- (Li) + λ(L_j);  λ Ïµ K^*

Propriété : Toute opération élémentaire sur les lignes d'un système d'équations linéaires transforme ce dernier en un système équivalent ayant le même ensemble de solutions.

Interprétation graphique

Soit (d) et (d') deux droites d'équations respectives : ax + by - c = 0 et a'x + b'y - c' = 0.

Soit M = (u;v) un point du plan. Dire que M est solution du système de deux équations à deux inconnues (S) revient à dire que le point M appartient à la fois à (d) et (d').

On distingue alors trois cas :

• Si (d) et (d') sont parallèles et distinctes, le système (S) n'admet aucun couple solution.
• Si (d) et (d') sont sécantes, le système (S) admet une solution unique.
• Si (d) et (d') sont confondues, alors le système (S) admet une infinité de couples solutions.

Conclusion : Résoudre (S) revient à étudier la position relative des droites (d) et (d')

Calcul du déterminant d'une matrice

À toute matrice carrée A correspond une valeur appelée le déterminant de A que l'on
dénote par det(A) ou encore |A|

Calcul du déterminant pour une matrice 2X2

Le déterminant de la matrice

 

possède deux termes : le produit ad précédé de + car le terme le plus à gauche (a) est situé au-dessus du terme le plus à droite (d) et le produit bc précédé du signe - car le terme de gauche (c) est situé sous le terme de droite (b) 

Calcul du déterminant pour une matrice 3X3

Il y a 6 façons de choisir trois termes un par ligne et par colonne, il y a donc 6 produits dans un déterminant d'ordre 3 ; 3 sont précédés du signe + et trois sont précédés du signe -. La règle de Sarrus (nommée d'après Pierre-Frédéric Sarrus) est un procédé visuel, qui permet de retenir la formule de calcul des déterminants d’ordre 3. Ce n'est toutefois pas toujours la méthode la plus simple ou la plus rapide. Une approche fondée sur les propriétés de linéarité du déterminant permet souvent d'effectuer moins d'opérations, ou d'obtenir une forme factorisée plus intéressante.

La règle de Sarrus consiste à écrire les trois colonnes de la matrice et à répéter, dans l’ordre, les deux premières lignes en dessous de la matrice. Il suffit alors d’effectuer les produits des coefficients de chaque diagonale et d’en faire la somme si la diagonale est descendante ou la différence si la diagonale est ascendante. Plus clairement : pour calculer

,

il suffit d'effectuer

a b c d e f g h i a b c d e f	et	a    b    c    d  e  f  g  h  i  a  b  c  d  e  f
affectés d'un signe positif		affectés d'un signe négatif

et le résultat est 

(a.e.i + d.h.c + g.b.f) - (g.e.c + a.h.f + d.b.i)

 

Méthodes de résolution d'un système d'équation

Méthode graphique.

 

Méthode par substitution :

Il y a trois étapes dans la méthode par substitution :

1. dans l'une des deux équations, on exprime x (ou y ) en fonction de y ( ou respectivement de x)
2. dans la seconde équation, on substitue à x l'expression obtenue en 1. On obtient alors une équation où il n' y a plus qu'une seule inconnue. On résout alors cette équation à une inconnue et trouve la valeur de l'inconnue.
3. Dans la première équation, on remplace y par sa valeur. On se retrouve de nouveau avec une équation à une seule inconnue et on résout cette équation. On a ainsi trouvé le couple unique solution du système.

On utilise de préférence la méthode de substitution lorsque l’une des inconnues a pour coefficient 1 ou -1.

Méthode par combinaison linéaire :

On peut distinguer 3 étapes pour cette méthode :

1. On multiplie l'une des deux équation par un réel quelconque ( positif ou négatif ) afin que la valeur absolue du coefficient de x (ou de y) soit égale dans les deux équations.
2. On additionne ( ou on soustrait ) membre à membre les deux équations afin que l'une des deux inconnues disparaissent. On se retrouve alors avec une équation à une seule inconnue que l'on résout. On trouve ainsi l'une des deux inconnues.
3. On remplace dans la première équation la valeur de l'inconnue trouvée précédemment. Il reste à résoudre une équation à une seule inconnue et on obtient ainsi le couple solution du système.

 

On utilise, de préférence, la méthode de combinaison dans tous les autres cas

 

Méthode de Cramer

On appelle système de Cramer un système de n équations à n inconnues avec |A|¹0  (déterminant de la matrice carrée de transformation).

Ecriture matricielle

avec X_n et B_n les matrices colonnes et A la matrice carrée de transformation

Un système de Cramer admet une solution unique donnée par :

 , pour 1 ≤ i ≤ n et |A| ≠ 0  .

|A_i| étant le déterminant de la matrice A_i obtenu en remplaçant la ième colonne de A par la colonne des constantes b .

La méthode de Cramer s'avère plus efficace pour les systèmes de 3 ou 4 inconnues.

 

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2026-02-18 19:43:19 / mazoughou@magoe.gn