Comme son nom l'indique, une inéquation (mot à mot une non égalité) d'inconnue x est une expression algébrique E(x) pouvant se ramener à la forme E(x) < 0 ou E(x) ≤ 0. Un exemple pourrait être : xêž’N , 2x - 7 < 0 dont les solutions sont 0, 1, 2 et 3 : comme pour les équations, il est tout à fait indispensable de savoir dans quel ensemble on recherche des solutions. Écrire 2x - 7 < 0 n'a que peu de sens !

Une inéquation de la forme E(x) > 0 ou E(x) ≥ 0 peut toujours se ramener, on va le voir ci-après à la forme E(x) < 0 ou E(x) ≤ 0.

Quel que soit A, quel que soit B :

• A < B   ↔   B > A

• A < B   ↔   - A > - B      (règle des opposés)

Cette règle est fondamentale : si l'on change le signe des deux membres d'une inégalité, le signe d'inégalité doit être inversé. Cela revient à multiplier par - 1.

Par suite, face à une inéquation du type E(x) ≥ 0, on pourra, si l'on préfère, l'écrire - E(x) ≤ 0.

Plus généralement :

• Si k est un nombre négatif non nul, alors :  A < B    ↔    - Ak > - Bk  et - A ÷ k > - B ÷ k

• Si k est un nombre positif non nul : A < 0  ↔  Ak < 0    (règle des signes)

• Si k est un nombre négatif non nul : A< 0  ↔  Ak > 0   (règle des signes)

A, B et u désignant des nombres quelconques :

• A + B < 0    ↔    B < - A    ↔    A < - B

• A - B < C    ↔    A < C + B

• A + B < C    ↔    A < C - B

• A ± u < B ± u    ↔   A < B

 L'étude qui suit reste bien sûr valable si l'on remplace les signes d'infériorité par les signes de supériorité > ou . Bien remarquer que dire a > b revient à dire b < a. Voir aussi la règle des opposés ci-dessus.

Une inéquation est dite du 1er degré si elle peut se ramener par des transformations régulières (c'est à dire conduisant à une inéquation équivalente) à la forme a + b < 0 où a et b sont des nombres réels donnés, a étant non nul. Le membre de gauche est un polynôme du 1er degré : c'est un binôme (deux termes) du premier degré.

A l'exception de cette règle, la résolution d'une inéquation se conduit comme une équation !