1 - Probabilités

Événements

L'expérimentateur se trouve souvent dans la situation suivante: il peut prévoir quels sont les résultats possibles de son expérience, mais non quel est, parmi ces possibles, celui qui se réalisera. Plus précisément, il peut déterminer l'ensemble des résultats possibles, l'ensemble des possibilités, qui sera désigné par Ω ; mais celle de ces possibilités qui se réalisera effectivement lui est inconnue avant que l'expérience soit faite.

Si, par exemple, l'expérience consiste à lancer un dé à six faces, on peut définir l'ensemble des résultats possibles: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} mais on ne sait pas à l'avance celui qui sera effectivement obtenu après le jet du dé. L'ensemble Ω des possibilités étant défini sans ambiguïté, on appelle événement toute partie de cet ensemble. Dans l'exemple précédent, l'événement A: "le résultat du jet est un chiffre impair" est constitué par les possibilités suivantes: A = {1, 3, 5}.

• On dit alors que l'événement A est réalisé lorsque le résultat effectivement obtenu est l'une des possibilités appartenant à cet événement, un élément de A: 1 ou 3 ou 5.
• On appelle événement élémentaire, une partie de l'ensemble Ω des possibilités qui ne contient qu'un seul élément. Il y a ainsi autant d'événements élémentaires que de parties de cardinal égal à 1 dans Ω.
• On appelle événement impossible, un événement qui ne contient aucun des éléments de Ω. Il lui correspond la partie vide Ø de Ω.
• On appelle, par contre, événement certain, l'ensemble Ω de toutes les possibilités. Il lui correspond la partie pleine de Ω.
• On appelle, enfin, événements incompatibles, deux parties disjointes de Ω. Lançant par exemple un dé à six faces, les deux événements:
  • A: le résultat est un chiffre pair
  • B: le résultat est un chiffre impair
  sont incompatibles puisque: A = {1, 3, 5} et B = {2, 4, 6} n'ont aucun élément commun.

  

Algèbre des Événements

Chaque événement étant une partie de l'ensemble Ω des possibilités, l'ensemble des événements est l'ensemble des parties de Ω. Lorsqu'il y a n possibilités, il y a ainsi 2ⁿ événements ( ∑ⁿ_k=0 C_n^k), y compris l'événement impossible et l'événement certain. Ces événements s'organisent les uns par rapport aux autres par la relation d'inclusion: A ⊂ B lorsque tout élément de A appartient à B. On dit que l'événement A impliquel'événement B chaque fois que A est réalisé B l'est aussi. Les opérations ensemblistes sur les événements sont d'usage courant. C'est ainsi qu'à chaque événement A on peut faire correspondre l'événement complémentaire A^- , constitué par la partie de Ω complémentaire de A.

On peut aussi faire correspondre à deux événements A et B:

• leur réunion A ∪ B qui s'interprète comme l'événement dans lequel A ou B est réalisé,
• leur intersection A ∩ B qui s'interprète comme l'événement dans lequel A et B sont tous les deux réalisés.

Lançant par exemple un dé, soient les événements:

• A: le résultat du jet est un chiffre pair,
• B: le résultat est un multiple de 3.

On peut définir les événements suivants:

• A^-: le résultat est un chiffre impair,
• A ∪ B: le résultat est 2 ou 3 ou 4 ou 6,
• A ∩ B: le résultat est 6.

Axiomes de Kolmogorov

Faire correspondre une probabilité à chaque événement X, c'est-à-dire à chaque partie X de l'ensemble Ω des possibilités, c'est définir une application de l'ensemble P(Ω) des parties de Ω, dans l'ensemble des nombres réels, qui satisfasse les trois conditions suivantes (souvent appelées axiomes de Kolmogorov):

• positivité: la probabilité d'un événement est un nombre positif ou nul:

  ∀ X∈Ω, p(X)≥ 0

• échelle: la probabilité d'un événement impossible est nulle, celle d'un événement certain est égale à 1:

  p(Ø) = 0,  p(Ω) = 1

• additivité: l'union de deux événements incompatibles, donc tels que: A ∩ B = Ø, a pour probabilité la somme des probabilités de ces événements:

  p(A∪B) = p(A) + p(B)

  

Il en résulte immédiatement une relation très utile: la somme des probabilités de deux événements complémentaires est égale à 1:

p(A) + p(A-) = 1

Événements Équiprobables

L'une des conséquences de la condition d'additivité est que la probabilité d'un événement quelconque est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires e_i qui le constituent, puisque deux parties réduites à un seul élément sont disjointes:

p(A) = ∑ei ϵ A p(ei)

Il en résulte que la connaissance des probabilités des événements élémentaires détermine entièrement les probabilités sur un ensemble Ω de possibilités. Un cas particulier important est celui où les événements élémentaires sont équiprobables:

p(e1) = … = p(ei) = … = p(en)

Comme on a évidemment: ∑_{ei Ïµ Ω} p(e_i) = 1, la probabilité de chacun des n événements élémentaires e_i est égale à 1/n, et la probabilité d'un événement A de Ω est alors le quotient de son cardinal |A| par celui de Ω:

p(A) = |A|/|Ω|

On retrouve là la définition bien connue: la probabilité est égale au nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Mais il faudrait ajouter, pour qu'elle soit correcte: … sous la condition stricte que les cas soient équiprobables. Et ce ne saurait plus dès lors constituer une définition.

Théorème des Probabilités Totales

Supposons deux événements A et B non disjoints, et calculons la probabilité p(A∪B) de leur réunion. L'axiome d'additivité des probabilités d'événements incompatibles, permet d'écrire que:

p(A∪B) = p(A∩B-) + p(A∩B) + p(A-∩B), avec p(A) = p(A∩B-) + p(A∩B) et p(B) = p(A-∩B) + p(A∩B)

D'où la relation souvent appelée théorème des probabilités totales:

p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B)

que l'on peut énoncer ainsi: si un événement peut se produire soit par l'arrivée d'un événement A, soit par l'arrivée d'un événement B, sa probabilité est égale à la somme des probabilités de A et de B moins la probabilité pour que A et B se produisent ensemble.

2 - Probabilités Conditionnelles

Axiome des Probabilités Conditionnelles

Dans ce qui précède, l'ensemble Ω des possibilités était donné une fois pour toutes. En fait, dès que certains des événements possibles se réalisent, l'ensemble des possibilités se trouve modifié.

Si l'événement A se réalise, les événements possibles deviennent en effet l'ensemble des parties de A, et non plus l'ensemble des parties de Ω. Pour tout événement X de l'ensemble Ω, seule la partie X∩A reste un événement possible lorsque A est réalisé.

La réalisation d'un événement A modifie donc l'ensemble des possibilités, et chaque événement X devient X∩A. Elle modifie aussi les probabilités. On désignera par p(X|A) la probabilité de l'événement X si A est réalisé. On l'appelle: probabilité conditionnelle de X sachant que A est réalisé, et par définition:

p(X|A) = p(Xâ‹‚A)/p(A)

Il n'existe donc pas de probabilité conditionnelle lorsque la probabilité de A est nulle.

Théorème des Probabilités Composées

La définition même des probabilités conditionnelles permet d'écrire que:

p(A∩B) = p(A) × p(B|A)

et aussi que:

p(A∩B) = p(B) × p(A|B)

C'est le théorème des probabilités composées, que l'on peut énoncer ainsi: si un événement résulte du concours de deux événements, sa probabilité est égale à celle de l'un d'eux multipliée par la probabilité conditionnelle de l'autre sachant que le premier est réalisé.

Soit, par exemple, à calculer la probabilité pour que, tirant successivement deux cartes d'un jeu de 32 cartes, ces deux cartes soient des valets. Appelons A et B les deux événements suivants:

• A: la première carte est un valet,
• B: la deuxième carte est un valet.

La probabilité cherchée est:

p(A∩B) avec p(A∩B) = p(A) × p(B|A)

Lors du premier tirage, il y a 32 cartes et 4 valets dans le jeu, d'où p(A) = 4/32 .

Lors du second tirage, il reste 31 cartes et seulement 3 valets, puisque l'événement A est réalisé, d'où p(B|A) = 3/31 .

Le résultat est donc:

p(A∩B) = 4/32 × 3/31 = 3/248 = 0.012.

Événements Indépendants

Par définition, deux événements sont indépendants, si la probabilité de l'un n'est pas modifiée lorsque l'autre est réalisé. On a donc, par exemple:

p(A|B) = p(A)

Il en résulte que:

p(A∩B) = p(A) × p(B),

et la réciproque est évidente.

On peut donc énoncer que: la condition nécessaire et suffisante pour que deux événements soient indépendants, est que la probabilité de leur intersection soit égale au produit de leur probabilités.

Les deux événements A et B de l'exemple précédent n'étaient pas indépendants. Mais si, par contre, on tire la deuxième carte après remise de la première dans le jeu, les résultats des deux tirages deviennent indépendants et p(A∩B) = p(A) × p(B) = 4/32 × 4/32 = 1/64 = 0.0156

Il est essentiel de bien réaliser la différence entre événements incompatibles : p(A∩B) = 0, et événements indépendants : 
p(A∩B) = p(A) × p(B).

Théorème de Bayes

Considérons un événement B dont la réalisation dépend de l'intervention de l'une des causes: A₁, …, A_i, …, A_n .

Soit p(B|A_i) la probabilité conditionnelle de B, si c'est la cause A_i qui intervient.

Et soit p(A_i) la probabilité d'intervention de A_i , appelée probabilité a priori de A_i.

Le théorème de Bayes, appelé aussi théorème de la probabilité des causes, calcule la probabilité p(A_i|B) qui est la probabilité pour que ce soit la cause A i qui ait entraîné la réalisation de B. Cette dernière probabilité est appelée la probabilité a posteriori de A_i. Ce théorème, qui date de plus de 2 siècles et qui était tombé en désuétude, a repris de l'intérêt pendant les dernières décennies. Il est utilisé dans de nombreux domaines, notamment en reconnaissance des formes et pour les calculs de sûreté industrielle.

La définition des probabilités conditionnelles permet d'écrire que:

p(Ai∩B) = p(Ai) × p(B|Ai) = p(B) × p(Ai|B)

et le théorème des probabilités totales que:

p(B) = ∑ni=1 p(Ai) × p(B|Ai)

D'où le théorème:

p(Ai|B) = [p(Ai) × p(B|Ai)] / [∑ni=1 p(Ai) × p(B|Ai)]

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2016-09-18 06:09:08