Vocabulaire

Une suite convergente est une suite qui tend vers un certain nombre, appelé limite de la suite, lorsque n tend vers l'infini. C'est donc une suite u telle qu'il existe un nombre réel l tel que . Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.

Deux suites adjacentes sont deux suites, l'une croissante, l'autre décroissante, dont les termes se rapprochent lorsque n tend vers l'infini, c'est à dire telles que .
 

Exemples

- la suite définie pour tout n par  est croissante, monotone, majorée, minorée, bornée, et convergente. Elle admet pour limite 2.
- la suite définie pour tout n par  est majorée, minorée, bornée et divergente.

Remarquons qu'une suite croissante est toujours minorée par son premier terme, et une suite décroissante est toujours majorée par son premier terme. Une suite monotone peut être convergente ou divergente.

 

Propriétés

Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente (mais attention, leur limite n'est pas forcément égale au majorant ou au minorant).
Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et elles convergent vers la même limite.

Suite croissante majorée		Suites adjacentes

 

Suites définies par récurrence

Une suite définie par récurrence est une suite dont on donne la valeur d'un terme ainsi qu'une relation reliant son terme général d'ordre n au terme suivant d'ordre n+1. Par exemple, la suite  est définie par récurrence. Soit f la fonction qui donne  en fonction de . Si on sait que la suite u est convergente et que la fonction f est continue en l, alors, en passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient l'égalité . Cette équation permet généralement de calculer l.

 

Notons aussi que pour des suites définies de cette manière, on peut déterminer une valeur approximative de ses termes et conjecturer sur la convergence ou non de la suite à l'aide d'un dessin. Traçons dans un repère orthonormé la courbe représentative de f, et sur l'axe des abscisses plaçons le premier terme . On a  donc à l'aide de la courbe de f on peut placer sur l'axe des ordonnées le terme  . Pour rapporter ce terme sur l'axe des abscisses, traçons maintenant la droite d'équation y=x. En revenant depuis  sur cette droite et en descendant vers l'axe des abscisses, on reporte ainsi  sur l'axe des abscisses. On peut maintenant avec f placer  sur l'axe des ordonnées puis rapporter sa valeur sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite d'équation y=x. On peut ainsi placer plusieurs termes de la suite sur l'axe des abscisses et deviner la limite de la suite.
 

 

Raisonnement par récurrence

Rien à voir avec les suites. Le raisonnement par récurrence est un type de raisonnement qui permet de démontrer qu'une propriété, qui dépend d'un entier naturel n, est vraie pour tout n. Par exemple si on doit démontrer que  est toujours un multiple de 3, on utilise généralement un raisonnement par récurrence. Un raisonnement par récurrence se décompose en 4 étapes.

1. On pose ="la propriété que l'on veut démontrer", par exemple ici on posera 

2. On montre que  est vraie. C'est généralement assez simple. Ici  est vraie car  et 0 est un multiple de 3.

3. On montre que pour tout nombre n, si  est vraie, alors  est encore vraie. C'est l'étape la plus difficile. Pour rédiger la solution on écrit : "Soit n un nombre entier naturel. Supposons que  soit vraie.". On doit montrer que  est encore vraie, c'est à dire que  est un multiple de 3. 
 

 est bien sur un multiple de 3.
est un multiple de 3 car  est vraie. La somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3, donc  est un multiple de 3, donc  est un multiple de 3, donc  est vraie.

4. On conclut. Vu que  est vraie, et que pour tout n, , on a , donc  est vraie,  donc  est vraie, etc... et donc du coup  est vraie pour tout n. Pour rédiger on écrit juste : "Par principe de récurrence,  est vraie pour tout n".
 

1 - Limites de suites

La limite d'une suite permet de décrire le comportement d'une suite numérique lorsque ses indices deviennent très grands.
 

Limite d'une suite

Considérons les suites définies par les formules 

Quand n devient infiniment grand (on dit que n tend vers l'infini) les termes de u se rapprochent de plus en plus du nombre 3 tandis que ceux de v continuent de monter indéfiniment : une suite peut avoir une limite finie ou infinie.

1. Limite finie

Pour qu'une suite u admette comme limite un nombre l il faut que ses termes se rapprochent de plus en plus de ce nombre l, mais cela ne suffit pas : les termes de la suite u_n=3-1/n se rapprochent de plus en plus du nombre 4 mais 4 n'est pas sa limite pour autant.
 

 

Pour que la limite soit 3 il faut que pour tout nombre ε fixé aussi petit que l'on veut, la suite contienne, à partir d'un certain rang, une infinité de termes dans l'intervalle ]3-ε;3+ε[.
 

 

On dit donc qu'une suite u admet une limite finie l si ∀ε>0 ∃n₀ tel que ∀n>n₀ |u_n-l|<ε

Si une suite admet une limite finie alors on dit qu'elle est convergente.

 

A ton avis

 

La suite  est-elle convergente?

 oui  non  

2. Limite infinie

On dit qu'une suite admet une limite infinie (+∞ ou -∞) si pour tout nombre fixé à l'avance il existe un rang à partir duquel tous ses termes sont supérieurs (dans le cas de +∞) ou inférieurs (dans le cas de -∞) à ce nombre.

La limite est +∞ si ∀M>0 ∃n₀ tel que ∀n>n₀ u_n>M.
La limite est -∞ si ∀M<0 ∃n₀ tel que ∀n>n₀ u_n

 

3. Absence de limite

Une suite n'admet pas forcément une limite finie ou infinie. 
Certaines suites n'ont pas de limite, par exemple les suites définies par les formules u_n=(-1)ⁿ ou v_n=cos(n).

 

Propriétés

1. Si à partir d'un certain rang les termes d'une suite u sont toujours supérieurs à ceux d'une suite v et si la limite de v est +∞ alors la limite de u est aussi +∞.

2. Toute suite croissante et majorée est convergente. 

3. Une suite géométrique de raison q admet pour limite 0 si -10 si q=1, et n'admet pas de limite finie dans les cas contraires.

 

Calcul de limite

 

1. Limite d'une somme ou d'une différence

Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers un nombre l' alors la suite w=u+v tend vers l+l'.

Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers l'infini (+∞ ou -∞) alors la suite w=u+v tend vers cet infini.

Si deux suites u et v tendent vers +∞ alors la suite w=u+v tend aussi vers +∞ (idem pour -∞).

Si une suite u tend vers +∞ et si une suite v tend vers -∞ alors on ne peut rien dire de la limite de la somme de ces deux suites. On dit que c'est une forme indéterminée. Nous verrons plus loin comment calculer la limite dans ce cas.

Nous avons les mêmes résultats pour la limite d'une différence, mais attention, si deux suites tendent vers le même infini nous ne pouvons rien dire de la limite de la différence des ces suites, c'est également une forme indéterminée.

 

Entraînement

 

Compléte ce résultat sur les limites. 1-∞ donne:

 -∞  0  1  +∞  on ne peut rien dire

 

2. Limite d'un produit

Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers un nombre l' alors la suite w=u×v tend vers l×l'.

Si une suite u tend vers un nombre non nul et si une suite v tend vers l'infini alors la suite w=u×v tend vers l'infini (le signe du résultat suit la règle des signes pour un produit).

Si deux suites u et v tendent vers l'infini alors la suite w=u×v tend aussi vers l'infini (+∞ ou -∞).

Si une suite u tend vers 0 et qu'une suite v tend vers l'infini, alors on ne peut pas conclure directement sur la limite du produit, c'est encore une forme indéterminée.
 

 

Entrainement

 

Compléte ce résultat sur les limites. 0×(-∞) donne:

 -∞  0  1  +∞  on ne peut rien dire

 

3. Limite d'un quotient

Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v (dont les termes ne sont jamais nuls) tend vers un nombre l' non nul alors la suite w=u÷v tend vers l÷l'.

Si une suite u tend vers un nombre et si une suite v tend vers l'infini alors la suite w=u÷v tend vers 0.

Si une suite u tend vers un nombre non nul et qu'une suite v tend vers 0 alors la suite u÷v tend vers l'infini. Pour connaître le signe de cet infini on regarde si la suite tend vers 0 par valeurs positives (on écrit 0⁺) ou par valeurs négatives (on écrit 0^-) et on utilise les règles des signes pour un quotient.

Si deux suites u et v tendent toutes les deux vers l'infini ou tendent toutes les deux vers 0 alors on ne peut pas conclure directement pour la limite de u÷v : ce sont de nouvelles formes indéterminées.

 

Entrainement

 

Compléte ce résultat sur les limites. 3÷0^- donne:

 1  0  -∞  +∞  on ne peut rien dire

 

Formes indéterminées

Voyons maintenant comment on calcule la limite d'une suite quand il y a une forme indéterminée.
 

1. Forme -∞+∞ ou +∞-∞

Exemple : .

Il y a une forme indéterminée +∞-∞ car  et .

Méthode

• 1. On factorise l'expression par son terme de plus haut degré.
• 2. On utilise les règles de calcul sur la limite d'un produit.

Calcul

Par produit de +∞ et de 1 on obtient . 
 

 

As-tu compris?

 

 

 -∞  0  1  +∞

 

 
 

2. Forme ∞×0

Dans ce cas on peut essayer de multiplier les deux suites entre elles pour se ramener à un quotient.

Exemple

 

3. Forme ∞÷∞

En général cela se produit lorsqu'on a un quotient de deux polynômes. 
Dans ce cas factorise le haut et le bas par le terme de plus haut degré du polynôme le plus petit.

Exemples
- Pour  on factoriserait par n³.
- Pour  on factoriserait par n⁴.
- Pour  on factoriserait par n².

Ensuite on utilise les règles sur les limites d'une somme et d'un quotient.


Exemple de calcul

 

As-tu compris?

 

Combien vaut  ?

 -∞  0  1  2  +∞

 

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2016-09-18 06:08:38