Définition

A un ensemble Ω d'événements élémentaires: { e₁, …, e_i, …, e_n }, faisons correspondre un nombre X prenant l'une des valeurs: x₁, …, x_i, …, x_n, lorsque l'événement élémentaire correspondant se réalise. Le nombre X est appelé variable aléatoire.

Une variable aléatoire est définie si l'on connait les probabilités: p(x₁), …, p(x_i), …, p(x_n) correspondant aux différentes valeurs possibles de X. Ces probabilités sont évidemment telles que:

p(x1) + … + p(xi) + … + p(xn) = 1

La correspondance { x_i , p(x_i)} est appelée: loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de la variable aléatoire X. Si les valeurs de X, en nombre fini ou infini, sont discrètes, la variable aléatoire est dite discrète.

Soit, par exemple, une urne contenant des boules blanches et des boules rouges, ces dernières en proportion ϖ.

On tire, au hasard, une boule dans l'urne, et on considère les deux événements élémentaires:

• e₁: la boule est blanche,
• e₂: la boule est rouge.

Attachons à e₁ et e₂ un nombre X qui prend la valeur 0 si e₁ est réalisé, et la valeur 1 si c'est e₂. Ce nombre est une variable aléatoire discrète qui est appelée variable de Bernouilli, dont la loi de probabilité est donnée par les deux probabilités:

p(X=1) = ϖ   et  p(X=0) = (1-ϖ)

qui ont bien une somme égale à 1.

Loi Binomiale

La loi binomiale découle, elle aussi, de la prise en considération du modèle d'une urne. Considérant une urne contenant des boules rouges et des boules blanches, les premières en proportion ϖ, on convient de prélever n boules et on s'intéresse à la variable aléatoire K: nombre de boules rouges parmi les n boules tirées. On se demande alors quelle est la probabilité p(k) pour que K soit égale à un nombre donné k.

Il convient cependant de préciser qu'il y a deux façons de procéder au tirage de n boules dans l'urne:

1. tirage non exhaustif: on prélève une boule, puis une autre après remise de la première dans l'urne, puis une troisième après remise de la seconde… et les prélèvements successifs sont donc indépendants puisque la composition de l'urne est la même avant chaque prélèvement,
2. tirage exhaustif: on prélève chacune des n boules sans remise des précédentes et les prélèvements ne sont plus indépendants, la composition de l'urne étant modifiée par les prélèvements précédents, et cela d'autant plus que la taille n de l'échantillon prélevé est élevée devant celle de la population des boules contenues dans l'urne.

Au premier mode de tirage est attachée la loi binomiale ; au second, la loi hypergéométrique qui sera envisagée au paragraphe suivant.

A chaque boule rouge correspond la probabilité ϖ d'être prélevée, à chaque boule blanche la probabilité (1-ϖ). Soit alors le résultat suivant: B, R, R, B, …., R, B, qui correspond à k boules rouges et (n-k) boules blanches. Les probabilités liées au tirage de chacune des boules sont respectivement égales à: (1-ϖ), ϖ, ϖ, (1-ϖ), … , ϖ, (1-ϖ), du fait de la non-exhaustivité des tirages successifs, et la probabilité de l'ensemble de l'échantillon, par application du théorème des probabilités composées, s'écrit: ϖ^k (1-ϖ)^n-k .

Cela étant posé, il faut noter que le résultat obtenu se réfère arbitrairement à un certain ordre d'arrivée des boules rouges et blanches; or, quand on se propose de calculer la probabilité d'avoir k boules rouges parmi les n boules extraites, l'ordre d'arrivée est indifférent. Autrement dit, on n'est pas intéressé par la probabilité d'une combinaison particulière de k boules rouges parmi les n boules, mais par la probabilité de l'ensemble des C_n^kcombinaisons possibles. Cette probabilité, par application du théorème des probabilités totales, s'écrit:

p(k) = Cnk ϖk (1-ϖ)n-k

On a évidemment: ∑ⁿ_k=0 p(k)=1 puisqu'on peut écrire: ∑ⁿ_k=0 p(k)= (ϖ+(1-ϖ))ⁿ , chaque probabilité étant l'un des termes successifs du développement du binôme. C'est d'ailleurs à ce fait qu'est due l'appellation de loi binomiale.

La loi binomiale dépend de deux paramètres n et ϖ. Des tables numériques permettent d'obtenir, pour différentes valeurs de n et ϖ, les probabilités p(k). En fait ces tables fournissent les probabilités cumulées:

Pn(k)= ∑kp=0 Cnp ϖp (1-ϖ)n-p

L'intérêt pratique de la loi binomiale est très grand. Au lieu de parler d'une urne contenant une certaine proportion ϖ de boules rouges, il suffit en effet de parler d'une population contenant une certaine proportion ϖ d'individus présentant une certaine qualité ou ayant un certain avis, pour constater que le modèle théorique décrit permet de définir la probabilité du nombre d'individus ayant cette qualité ou cet avis, et susceptibles de figurer dans un échantillon de n individus tirés au hasard dans la population en question. La loi binomiale joue ainsi un rôle important dans un grand nombre de problèmes de jugement sur échantillon: sondages d'opinion ou contrôle du nombre de pièces défectueuses dans une fabrication.

Loi Hypergéométrique

Au tirage exhaustif correspond la loi hypergéométrique. La composition de l'urne est, dans ce cas, modifiée après chaque tirage. Il convient donc de préciser la composition initiale de l'urne de la façon suivante:

• N: nombre total de boules dans l'urne,
• R = Nϖ: nombre total de boules rouges,
• N-R = N(1-ϖ): nombre total de boules blanches.

Tirer n boules dont k rouges revient à tirer k boules parmi les R rouges et (n-k) boules parmi les (N-R) blanches. Si nous individualisons chaque boule, le nombre d'échantillons de n boules que l'on peut tirer de l'urne est égal à C_Nⁿ , le nombre d'échantillons de k boules rouges prélevées parmi les R rouges est égal à C_R^k et celui des échantillons de (n-k) boules blanches prélevées parmi les (N-R) blanches est égal à C_N-R^n-k . Le nombre d'échantillons contenant k boules rouges et (n-k) boules blanches est donc égal à C_R^k C_N-R^n-k . Tous ces échantillons ayant la même probabilité 1/C_Nⁿ d'être extraits, la probabilité p(k) cherchée est égale à:

p(k) = (CRk CN-Rn-k) / CNn

Loi de Poisson

A chaque couple de valeurs n et ϖ correspond, dans le cas d'un tirage non exhaustif, une loi binomiale. Pour des raisons de commodité de calcul, les statisticiens se sont efforcés de trouver des lois approchées plus facile à utiliser. La loi de Poisson est l'une d'elles. Elle correspond aux hypothèses: n grand, ϖ petit, le produit n ϖ = λ étant fini. On peut écrire dans ces conditions:

n!/[k!(n-k)!] ϖk(1-ϖ)n-k = [n(n-1)…(n-k+1)]/k! × λk/nk × (1-λ/n)n/(1-λ/n)k
= [n(n-1)…(n-k+1)]/nk × λk/k! × (1-λ/n)n/(1-λ/n)k

Si l'on fait tendre n vers l'infini:

[n(n-1)…(n-k+1)]/nk →1, (1-λ/n)k →1 et (1-λ/n)n →e-λ

On obtient à la limite la loi de Poisson définie par les probabilités:

p(k) = e-λ x λk/k!

Elle dépend du seul paramètre λ et il existe des tables qui donnent, pour différentes valeurs de λ, les probabilités cumulées correspondantes:

P(k) = ∑ki=0 e-λ × λi/i!

La loi de Poisson présente donc l'intérêt de simplifier les calculs puisqu'une seule table poissonnienne se substitue à un grand nombre de tables binomiales. Quand peut-on en pratique utiliser l'approximation de Poisson ? En première analyse si n ≥ 50 et ϖ ≤ 0.01. Ceci lui confère un champ d'application très large, dans l'échantillonnage industriel en particulier où les proportions de déchets sont heureusement faibles.

Processus de Poisson

Mais en réalité l'importance de la loi de Poisson dépasse de beaucoup ce seul cadre. Elle peut être obtenue de façon toute différente et très intéressante du point de vue des applications pratiques. Considérons une suite d'événements tels que:

• les événements sont indépendants,
• la probabilité d'apparition d'un événement pendant un intervalle de temps Δt est proportionnelle à Δt, égale à λ.Δt, et la probabilité pour qu'il se produise 2 événements pendant Δt est du second ordre par rapport à la première,
• le phénomène est stationnaire, c'est à dire que ses caractéristiques ne dépendent pas de l'origine du temps d'observation.

On dit qu'on a affaire à un processus de Poisson dont λ est le taux d'arrivée.

Considérons la situation du processus à l'instant t + Δt et supposons qu'il y a eu k événements enregistrés jusqu'à cet instant. Cela ne peut provenir que des deux situations suivantes:

Nombre d'événements enregistrés jusqu'à l'instant
t	t+Δt
k-1	k
k	k

La probabilité p_k(t+Δt) de réalisation de k événements jusqu'à l'instant t + Δt est donc:

pk(t+Δt) = λ.Δt pk-1(t) + (1-λ.Δt) pk(t)

puisque λ.Δt est la probabilité de réalisation d'un évènement pendant un intervalle de temps Δt et que (1-λ.Δt) est la probabilité du contraire. Cette relation n'est vraie que pour les valeurs non nulles de k: si aucun événement ne s'est réalisé avant t+Δt, c'est qu'aucun événement n'était réalisé avant t. On a donc:

p0(t+Δt) = (1-λ.Δt) p0(t)

que l'on peut écrire:

[p0 (t+Δt) - p0(t)]/Δt = -λ.p0(t)

En faisant tendre Δt vers 0, on obtient: p′₀(t) = -λ.p₀(t) et, par conséquent: p₀(t)= e^-λt puisque p₀(t) est égale à 1 à l'instant t=0. La relation qui correspond aux valeurs non nulles de k s'écrit, de la même façon:

p′k(t) = λ.pk-1(t) - λ.pk(t)

et permet d'obtenir, par récurrence:

pk(t) = (λt)k/k! e-λt

On reconnait la loi de Poisson de paramètre λ t.

Le champ d'application du processus de Poisson est très vaste. L'expérience montre en effet qu'il permet de modéliser de nombreux phénomènes. Il s'agira, par exemple, du nombre de particules émises par du radium, ou du nombre de défaillances d'une certaine machine, ou du nombre de clients qui se présentent à un guichet, ou du nombre d'appels à un standard téléphonique, ou du nombre de ruptures de fil dans une tréfilerie, ou du nombre de secousses sismiques ressenties dans la ville de Mexico …

Espérance Mathématique d'une Variable Aléatoire Discrète

Etant donnée une variable aléatoire susceptible de prendre les valeurs: x₁ , …, x_i , …, x_n avec les probabilités: p(x₁), …, p(x_i), …, p(x_n), on appelle espérance mathématique (ou moyenne) de cette variable, et on la note généralement E(X), la quantité:

E(X)= ∑ni=1 xi p(xi)

L'appellation d'espérance mathématique, due à Blaise Pascal, sera justifiée ultérieurement par la loi des grands nombres, qui énonce que: la moyenne d'une série d'observations d'une variable tend vers l'espérance de cette variable, quand le nombre d'observations augmente indéfiniment.

En appliquant la définition aux variables qui viennent d'être étudiées, on trouve les valeurs suivantes.

1. Loi de Bernouilli

   E(X) = 1 × ϖ + 0 × (1-ϖ) = ϖ

2. Loi Binomiale

   E(K) = ∑nk=1k Cnk ϖk (1-ϖ)n-k

   expression que l'on peut encore écrire:

   E(K) = ∑nk=1nϖ × [(n-1) … (n-(k-1))] / (k-1)! . ϖk-1(1-ϖ)(n-1)-(k-1)

   et où l'on reconnait:

   E(K) = nϖ(ϖ+1-ϖ)n-1 = nϖ

3. Loi de Poisson

   E(K) = λ

4. Processus de Poisson

   E(K) = λt

   On comprend pourquoi λ qui est le nombre moyen d'événements par unité de temps, s'appelle le taux d'arrivée.

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2018-10-06 10:54:45 / mazoughou@magoe.gn