Une fonction est une sorte de machine à laquelle on donne des nombres et qui en retourne d'autres. 

Les fonctions décrivent comment des variables se comportent par rapport à d'autres (par exemple une population d'animaux en fonction de la population de leurs prédateurs, la luminosité d'une étoile en fonction de sa distance et de son âge...).

L'étude des fonctions permet de faire des prévisions ou des optimisations dans le cas de problèmes particuliers en sciences ou en économie.

Nous allons voir ici ce qu'est l'ensemble de définition d'une fonction, son tableau de variation et nous allons étudier en détail la fonction carré et la fonction inverse.

 

Ensemble de définition

L'ensemble de définition d'une fonction est l' ensemble des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer f(x).
 

Exemples

L'ensemble de définition de la fonction  est D = R .
L'ensemble de définition de la fonction  est D = R⁺ .
L'ensemble de définition de la fonction  est D = R^* . 
 

Comment déterminer l'ensemble de définition

Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction:

1. S'il y a une racine carrée
Si la fonction contient une racine carrée alors il faut que l'expression sous la racine soit positive pour qu'on puisse calculer les images. Si  on commence par résoudre l'inéquation g(x)≥0. L'ensemble de définition sera l'ensemble des solutions de cette inéquation.

2. S'il y a un quotient
Si la fonction contient un quotient alors il faut que le dénominateur soit différent de zéro pour qu'on puisse calculer les images. Si  on commence par résoudre l'équation h(x)=0. L'ensemble de définition sera l'ensemble des nombres réels moins les éventuelles solutions de cette équation.

3. Autres cas
Pour toutes les autres fonctions, s'il n'y a pas de racine carrée ni de quotient l'ensemble de définition est D = R.


Exemples
1. Pour  on résout l'inéquation 14 - 7x ≥ . 
On trouve x ≤ 2 , donc D = ]-∞; 2] .

2. Pour  on résout l'équation 2x - 8 = 0 . 
On trouve x=4, donc D = R - {4} .

Variation de fonction

Nous avons besoin de vocabulaire spécifique (fonction croissante ou décroissante) pour dire quand la courbe d'une fonction monte et quand elle descend.
 

Fonction croissante

Si sur un intervalle de l'axe des abscisses la courbe d'une fonction monte alors on dit que cette fonction est croissante sur cet intervalle. Une fonction croissante conserve l'ordre des images : si a et b sont deux nombres tels que a On peut ausi dire qu'une fonction croissante est une fonction qui conserve l'ordre des images.

Fonction décroissante

Si sur un intervalle de l'axe des abscisses la courbe d'une fonction descend alors on dit que la fonction est décroissante sur cet intervalle. Une fonction décroissante change l'ordre des images : si a et b sont deux nombres de cet intervalle tels que af(b).
On peut aussi dire qu'une fonction décroissante est une fonction qui change l'ordre des images.

Tableau de variation

Afin de représenter les variations d'une fonction (croissante ou décroissante) sur son ensemble de définition on utilise un tableau de variation. 

Un tableau de variation est un tableau composé de deux lignes et d'un nombre variable de colonnes dans lequel on écrit sur la première ligne les valeurs de x de l'ensemble de définition de la fonction, et en dessous les variations correspondantes avec des flèches.

 

Comment faire un tableau de variation

• 1. On écrit sur une ligne les valeurs de x pour lesquelles le sens de variation change.
• 2. En dessous on symbolise par des flèches les variations de f.
• 3. Aux extrémités des flèches, on écrit les valeurs prises par la fonction.
   

 

Fonction carré, fonction inverse

Fonction carré

La fonction  dont nous avons tracé ci-dessus le tableau de variation, s'appelle la fonction carré. 

Sa représentation graphique s'appelle une parabole.
 

Fonction inverse

La fonction  est la fonction inverse.

Sa représentation graphique s'appelle une hyperbole.