Introduction

La mesure

Lorsque nous prenons une mesure, nous ne pouvons pas prétendre que celle-ci correspond à la valeur exacte de la grandeur mesurée. Que la mesure soit celle d'une longueur, d'une masse, d'un volume ou d'un intervalle de temps, nous devons inévitablement nous rendre à l'évidence que notre mesure est plus ou moins proche de la réalité.

L'erreur

L'erreur, c'est l'écart entre la mesure et la valeur exacte. Puisque la valeur exacte est souvent inaccessible, l'erreur est inconnue.

L'incertitude absolue

L'incertitude absolue est une estimation de l'erreur que fait l'expérimentateur. L'incertitude absolue est l'écart maximum possible entre la mesure et la valeur exacte. La mesure et son incertitude absolue constituent un domaine de valeurs possibles à l'intérieur duquel se trouve la valeur exacte.

L : la mesure d'une longueur
ΔL : l'incertitude absolue associée à la mesure de la longueur

La valeur exacte se trouverait donc à l'intérieur du domaine délimité par
L ± ΔL

L'incertitude absolue dépend de plusieurs facteurs ; la précision de l'appareil de mesure, les conditions dans lesquelles se prend la mesure, l'habileté de l'expérimentateur, etc. Estimer correctement l'incertitude associée à une mesure exige une bonne part de jugement et d'expérience.

L'incertitude absolue s'exprime généralement avec un seul chiffre en utilisant les mêmes unités que celles associées à la mesure.

Exemple :      23,4  ±   0,5  cm

Puisque l'incertitude est estimée à 5 mm, la mesure est arrondie (si nécessaire) au millimètre le plus proche.

L'incertitude relative

L'incertitude relative est le rapport entre l'incertitude absolue et la mesure (ΔL/L). Ce rapport est habituellement exprimé en pourcentage.

Exemple :      23,4  ±   0,5  cm pourrait aussi s'écrire 23,4 ± 2%

L'incertitude relative permet de comparer la précision de différentes mesures. La mesure la plus précise est celle dont l'incertitude relative est la plus faible.

Les chiffres significatifs

Lorsqu'on exprime une mesure directe ou le résultat d'un calcul, l'incertitude absolue associée au résultat est exprimée avec un seul chiffre significatif.  La mesure ou le résultat du calcul sera donc arrondi afin de ne comporter qu'un seul chiffre incertain.

Les chiffres significatifs sont : tous les chiffres certains plus le premier chiffre incertain.

Exemple :  le résultat d'un calcul donne   23,456 ± 0,234 cm.

Ce résultat devrait s'écrire, en tenant compte des chiffres significatifs, 23,5 ± 0,2 cm. L'incertitude à été arrondie pour ne comporter qu'un seul chiffre significatif et le résultat à été arrondi pour ne comporter qu'un seul chiffre incertain (le résultat comporte donc trois chiffres significatifs).

Calcul d'incertitudes absolues

Supposons que l’on mesure des grandeurs indépendantes x₁, x₂, ..., x_n avec les incertitudes respectives Δx₁, Δx₂, ..., Δx_n. On veut alors en déduire l'incertitude d’une grandeur f dépendant des variables x_i. D'après les notions sur les différentielles, on peut écrire :

On peut alors calculer un majorant de df:

Puis en notant les incertitudes Δx = |dx| pour toutes les grandeurs, on obtient la relation suivante en prenant la valeur maximale de l'incertitude :

Exemple concret

On prend par exemple la mesure d’une résistance électrique R. Pour cela on réalise un circuit électrique reliant une résistance à une pile. On mesure l'intensité I passant dans le circuit à l'aide d’un ampèremètre et la tension U aux bornes de la résistance à l'aide d’un voltmètre. Ces deux mesures présentent des incertitudes notées ΔI et ΔU. On obtient les valeurs suivantes : I=0,10mA; U=1,50V; ΔU=0,01V et ΔI=0,01mA.

Tout d’abord on calcule la valeur moyenne de R sachant que R=U/I; cela donne 1,50 / 0,10 x 1000 = 15 000 Ω.

Il faut ensuite calculer l'incertitude ΔR. Pour cela, on doit calculer les dérivées partielles de R par rapport à U et I :

Calcul d'incertitudes relatives

Dans le cas général, il n’est pas pratique de calculer directement des incertitudes relatives. Mais si la fonction f s'exprime sous forme d’un produit de ses variables, il est plus simple de calculer l'incertitude relative. Par exemple, on considère la fonction suivante : f(x,y,z)=x^ay^bz^c où a, b et c sont des constantes. On applique alors le logarithme népérien aux deux membres de cette relation : lnf(x,y,z)=alnx + blny + clnz Puis on prend la différentielle de cette équation :