En Sciences Sociales (économie, géographie, gestion), on utilise souvent des fonctions pour modéliser des situations réelles :

• Économie : Le coût de fabrication d’un objet en fonction du nombre d’objets produits.
• Démographie : La population d’une ville en fonction des années.
• Statistiques : L’évolution d’un prix en fonction du temps.

Une fonction est donc une relation qui permet de passer d’un nombre (la cause) à un autre nombre (la conséquence).

1. Définition simple

L'ensemble de définition d’une fonction f, noté Df, est l’ensemble de toutes les valeurs que l’on peut donner à x pour que le calcul de f(x) soit possible.

En clair : C’est le "territoire" sur lequel la fonction a le droit d’exister. Si on donne une valeur interdite, la calculatrice affiche "Erreur" !

2. Les deux règles à connaître

Règle n°1 : On ne divise jamais par zéro.

Si la fonction est une fraction (un quotient), le dénominateur (la partie en dessous de la barre) doit être différent de 0.

Exemple 1 :

• On ne peut pas calculer si x=0 (car  est impossible).
• Donc : Df=]-∞;0[∪]0;+∞[ (tous les nombres sauf 0).

Exemple 2 (cas concret) :

• On interdit x-4=0, donc x=4.
• Donc : Df=]-∞;4[∪]4;+∞[.

Règle n°2 : La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans R.

Si la fonction contient une racine carrée , ce qui est sous la racine (le radicande) doit être positif ou égal à zéro.

Exemple 3 :

• On doit avoir x-2≥0, donc x≥2.
• Donc : Dg=[2; +∞[.

Exemple 4 (cas concret) :

• On doit avoir 100 - 5x ≥ 0 ⇒ -5x ≥ -100 ⇒ x ≤ 20.
• Donc : Dh = ]-∞; 20]. (Si x  est un prix, il ne peut pas dépasser 20).

3. Cas particulier : Quand les deux règles se mélangent

Parfois, une fonction a une racine carrée et une fraction.

Exemple 5 :

1. 1. A cause de la racine : il faut x-1 ≥ 0 ⇒ x≥1.
   2. A cause de la fraction : le dénominateur  ne doit pas être nul. Or,  quand x-1=0, donc quand x=1.
   3. Je garde x≥1 mais j’enlève x=1. Il reste x > 1.
   4. Donc : Df = ]1; +∞[.

Méthode pratique pour trouver Df (la marche à suivre) :

1. Je regarde ma formule.
2. Y a-t-il une fraction ? → Je pose le dénominateur ≠0.
3. Y a-t-il une racine carrée ? → Je pose ce qu'il y a sous la racine ≥ 0.
4. Je résous l’équation ou l’inéquation.

J’écris le résultat sous forme d’intervalle(s).