1. Définition et Rappels

Qu'est-ce qu'une équation ? C'est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues (souvent notées x, y ou z).

Exemple : 2x + 3 = 7

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs que l'on peut donner à l'inconnue pour que l'égalité soit vraie. Ces valeurs s'appellent les solutions.

Règles de base (Les "permis de construire" des maths) : On peut transformer une équation sans changer ses solutions en :

1. Additionnant ou soustrayant le même nombre aux deux membres.
2. Multipliant ou divisant par le même nombre (non nul) les deux membres.

Astuce mnémotechnique : Ce qui est additionné passe en soustraction de l'autre côté (et inversement). Ce qui est multiplié passe en division de l'autre côté (et inversement).

2. Étude de problèmes menant à une équation

De nombreux problèmes concrets (commerce, partage, distances, âges…) se résolvent en les traduisant d'abord en équation.

Ainsi pour réussir à résoudre un problème, il faut suivre une méthode rigoureuse. C'est comme une recette de cuisine.

On suit donc une méthode en quatre étapes :

1. Choisir l'inconnue : Lire l'énoncé 2 fois. Désigner par x ce que l'on cherche, en précisant son unité.
2. Mettre le problème en équation : Traduire les phrases en une expression mathématique (poser l'égalité).
3. Résoudre l'équation obtenue : Appliquer les règles de calcul pour trouver la valeur de x.
4. Vérifier et interpréter le résultat dans le contexte du problème : Une solution mathématique n'est pas toujours une solution acceptable : un nombre de sacs ou un âge ne peut pas être négatif, par exemple.

Exemple 1

"Un commerçant paie 15 000 GNF de frais de transport fixes, puis 5 000 GNF par sac de riz acheté. Il a payé 85 000 GNF au total. Combien de sacs de riz a-t-il achetés ?"

• Étape 1 - Inconnue : soit x le nombre de sacs de riz achetés.
• Étape 2 - Mise en équation : 15 000 + 5 000x = 85 000
• Étape 3 - Résolution : 5 000x = 85 000 − 15 000 = 70 000, donc x = 70 000 ÷ 5 000 = 14
• Étape 4 - Interprétation : le commerçant a acheté 14 sacs de riz.

Exemple 2

"Un père a 42 ans et son fils a 12 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le double de l'âge du fils ?"

• Étape 1 : Soit x le nombre d'années cherché.
• Étape 2 : Dans x années, le père aura 42 + x ans, le fils aura 12 + x ans.
  • On veut : Âge du père = 2 * Âge du fils
  • Équation : 42 + x = 2(12 + x)
• Étape 3 : 42 + x = 24 + 2x →42 – 24 2x – x → 18 = x
• Étape 4 : Dans 18 ans, le père aura 60 ans et le fils 30 ans (60 est bien le double de 30).
  • Conclusion : Dans 18 ans.

3. L'Appui Graphique (Résoudre avec une droite)

Parfois, on peut visualiser la solution sans faire de calculs compliqués. C'est très utile pour vérifier sa réponse ou quand l'équation est difficile.

3.1. Les équations de la forme ax + b = 0

• On considère la fonction affine f(x) = ax + b.
• Sa représentation graphique est une droite.
• Résoudre ax + b = 0 revient à trouver l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec l'axe des abscisses (l'axe horizontal x).

Exemple

Résoudre 2x – 4 = 0.

Graphiquement : On trace la droite y = 2x - 4. Elle coupe l'axe des x en x = 2. La solution est donc x = 2.

3.2. Les équations de la forme f(x) = g(x)

• On trace la courbe (ou la droite) de la fonction f et celle de la fonction g dans le même repère.
• Résoudre f(x) = g(x) revient à trouver les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

Exemple concret (Économie/Gestion) :

Soit une entreprise qui produit des stylos.

• Coût total : C(x) = 5x + 100 (droite croissante)
• Recette totale : R(x) = 8x (droite passant par l'origine)

Problème : Pour quel nombre de stylos x le coût est-il égal à la recette ? (C'est le seuil de rentabilité).

Graphiquement, on trace les deux droites. Leur intersection se situe en x ≈ 33,3.

Interprétation : À partir de 34 stylos vendus, l'entreprise fait des bénéfices. Avant, elle perd de l'argent.