I. Rappels : monômes et polynômes

Un monôme est une expression de la forme axⁿ, où a est un nombre réel (le coefficient) et n un entier naturel (le degré du monôme). Un polynôme est une somme de plusieurs monômes.

Exemple : P(x) = 3x² – 5x + 7 est un polynôme de degré 2 (le plus haut exposant de x).

II. Les produits remarquables

Trois identités reviennent constamment dans les calculs et doivent être connues par cœur :

Exemple : (2x + 3)² = (2x)² + 2 × (2x) × 3 + 3² = 4x² + 12x + 9

III. Diverses factorisations simples

Factoriser une expression, c'est l'écrire sous forme d'un produit de facteurs. Trois méthodes principales :

3.1. Facteur commun

On repère un facteur présent dans tous les termes de l'expression, puis on le met en évidence.

Exemple : 6x² + 9x = 3x(2x + 3)

3.2. Utilisation des identités remarquables

On reconnaît la forme a² + 2ab + b², a² – 2ab + b² ou a² – b² pour factoriser directement.

Exemple : x² – 25 = x² – 5² = (x – 5)(x + 5)

3.3. Regroupement de termes

Lorsqu'il n'y a pas de facteur commun évident à tous les termes, on peut regrouper les termes deux par deux pour faire apparaître un facteur commun.

Exemple : ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)

IV. Calculs sur les polynômes

Les polynômes s'additionnent, se soustraient et se multiplient comme des expressions littérales ordinaires, en respectant les règles de calcul et de distributivité.

• Addition : on additionne les termes de même degré (termes semblables).
• Soustraction : on change le signe de chaque terme du polynôme soustrait, puis on additionne.
• Multiplication : on distribue chaque terme du premier polynôme sur chaque terme du second.

Exemple : (x + 2)(x² – 3x + 1) = x³ – 3x² + x + 2x² − 6x + 2 = x³ – x² – 5x + 2

V. Simplification de fractions rationnelles

Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Pour la simplifier, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis on élimine les facteurs communs.

Attention : une fraction rationnelle n'est définie que si son dénominateur est différent de 0. Il faut toujours préciser les valeurs interdites avant de simplifier.