1-Position du problème :
L’extrémité O (point bleu) d’une corde horizontale de longueur infinie est soumise à un mouvement vertical sinusoïdal entretenu de période T et d’amplitude a.
Une onde d’aspect sinusoïdal se propage à la célérité c le long de la corde.
Le point O est pris comme origine des espaces, et le signal se propage le long de la corde sans amortissement vers la droite dans le sens des x>0.
Avec ces conventions recherchons l’équation générale y(x, t) dépendante du temps de tout point d’abscisse x de la corde
(Sur les documents d’illustration qui suivent, on a choisi : T=30s et a=0.1m, c=1cm/s)
2-Equation du mouvement de la source :
L’équation générale dépendante du temps du mouvement du point O peut s’écrire :
w. est la pulsation du mouvement sinusoïdal.
Le terme entre parenthèse s’appelle la phase et le terme « f » la phase à l’origine ; cette dernière dépend des conditions initiales.
Or sur la courbe ci-dessus : à t=0 y0=0 et donc f=0 ou p;
Mais à t=0, le point O se déplace vers le haut et donc : v0=(dy/dt)o=a*2p/T.cosf >0
Et donc seule la solution f=0 convient. Nous retirons ce symbole de la formule.
3-Définition de la longueur d’onde :
Décomposons le mouvement de la source depuis l’instant initial t=0, jusque t=T…..Le temps que le point O retrouve sa position qu’il avait à la date t=0,il s’est écoulé une période T et pendant ce temps l’onde s’est propagée d’une longueur d’onde(voir figure ci-dessous).
La longueur d’onde l est la distance parcourue par l’onde pendant une période T.
Sachant que l’onde se propage à la célérité c=, on a donc la relation suivante entre l et T :
Sur la figure ci-dessus c=1cm/s et donc l=1cm/s*30s=30cm
4-Retard de la vibration en M (point vert)par rapport à celle en O (point bleu) :
Tous les points du milieu vibrent avec la même période T mais avec un retard proportionnel à leur distance à la source.
Ce retard est égal à la durée de propagation de l’onde se propageant de O en M.
L’équation du mouvement de M distant de xM est donc :
On pose souvent :
Pour tout point d’abscisse x, l’équation devient :
5-Double périodicité de l’onde sinusoïdale :
a-« sinusoïde des espaces » :
Réalisons une photographie de l’onde à la date t1=50s.
L’onde s’est alors propagée de c.t1= 50.1=50cm.
L’équation de la courbe donnant l’aspect de la corde à cette date s’écrit :
C’est une sinusoïde de période spatiale l ou « sinusoïde des espaces »
Remarque : cette sinusoïde n’est définie que si x 1=50cm ; au-delà de cette valeur, y=0 car les points de la corde ne sont pas encore atteint par l’onde.
b-« sinusoïdes des temps » :
Fixons la variable x, soit x=xM=30cm, l’équation devient :
Courbe périodique dépendante du temps de période T.
A chaque point de la corde est associé une telle sinusoïde
Remarque : cette sinusoïde commence à la date t =xM/C=30/1=30s lorsque l’onde atteint le point M.
L’équation de l’onde écrite plus haut traduit bien mathématiquement la double périodicité de l’onde.
2020-05-29 09:17:27 / mazoughou@magoe.gn
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