Potentiel électrostatique 

Le  potentiel électrostatique V(M) associé au champ  électrostatique  est une fonction  scalaire contrairement  à   . Nous verrons, dans beaucoup de cas, que le potentiel sera un intermédiaire commode dans le calcul du champ  vectoriel . Le potentiel se rattache physiquement à la notion d’énergie potentielle, d’où son appellation. 

Cas d’une seule charge ponctuelle

  Considérons une charge ponctuelle q (>0) fixée en P et un point M de l’espace (figure 1) :

 La charge ponctuelle q fixée en P crée  en tout point M de l’espace un champ électrostatique donné par :

 
La circulation élémentaire dC s’écrit alors :

Posons alors,

V est le potentiel électrostatique V(M) crée par la charge q fixée en M :

  Nous venons de définir un nouveau champ, le  potentiel électrostatique ; c’est un champ scalaire défini à une constante près. On choisit en général la valeur de la constante de telle sorte que le potentiel soit nul lorsque le point M est infiniment éloigné de la charge : 
V ( r → ∞)=0  . Dans ce cas, la constante est nulle et le potentiel s’écrit :

Comme le champ, le potentiel V n’est pas défini aux points Pi :ne sont pas définis. 

Cas d’une distribution de n charges ponctuelles

Soient n charges ponctuelles q1, q2, ..., qi, ...,qn fixés aux points P1, P2, ..., Pi, ...,Pn. 
Soit M un point de l’espace. (figure 2). 

Calculons la circulation élémentaire dCi du champ  crée par la charge qi seule :

 Ainsi, le potentiel électrostatique Vi(M) dû à la charge qi. 

Le potentiel V(M) dû à l’ensemble des n  charges est la somme des potentiels en application du principe de superposition :

  Dans cette relation, nous avons choisi la constante nulle pour chaque potentiel Vi crée par la charge qi ; ceci n’est pas valable que si les charges qi sont réparties dans un volume fini.

Relation entre champ et potentiel électrostatique

Le champ E est  relié au potentiel V par la relation mathématique très générale:

d est la distance entre les point A et B. Le champ E a donc les caractéristiques générales suivantes :

Direction : c’est celle le long de laquelle le potentiel varie le plus par unité de longueur, c’est donc la normale aux équipotentielles.

Le sens : c’est celui des potentiels décroissants (le signe moins le dit).

Sa valeur : . (Unité : V.m^-1) 

 

 

Topographie d’un champ électrique

a) Lignes de champ

Pour avoir une idée sur l’allure du champ , on trace les  lignes de champ, c’est à dire les courbes tangentes en chaque point au vecteur  E  défini en ce point. Ces courbes sont orientées par convention dans le sens du vecteur (figure 3). 

Soit M un point d’une ligne de champ et  le vecteur déplacement élémentaire sur une ligne de champ (Figure 3)
Puisque  et  sont colinéaires, on a :

  Cette relation permet d’obtenir les équations des lignes de champ. Dans le système de coordonnées  cartésiennes, posons :

La relation (9) conduit à :  

Exemple de lignes de champ 
Soit une charge ponctuelle en O. les lignes du champ crée par la charge ponctuelle sont des demi-droites concourantes en O, divergentes si q > 0 (figure 4-a) et convergentes si q < 0 (figure 4-b).

•  Notons que dans une région où le champ est un vecteur bien défini et non nul, on peut suivre de façon continue une ligne de champ  
•  Deux lignes de champ ne peuvent se croiser : la figure 4 montre que les lignes de champ commencent (figure 4-a) ou s’arrêtent (figure 4-b) sur les charges qui sont des points singuliers.

b) Tube de champ

L’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé constitue un tube de champ (Figure 5).

 

Energie potentielle électrique:

Une charge q plongée dans un champ E est soumise  à une force électrique : 

.

Une charge positive aura donc tendance à se déplacer dans le sens du champ.et une charge négative dans le sens contraire. Envisageons un déplacement d’une charge q de A en B (voir fig ci-dessus). 

Au cours de son déplacement, la variation d’énergie potentielle de la charge est égale à l’opposé du travail de la force électrique qui s’applique sur elle. (De façon analogue, dans le champ de pesanteur,  la variation d’énergie potentielle est l’opposé du travail du poids !). 

Evaluons le travail de la force électrique de A en B : 

finalement, la différence d’énergie potentielle s’écrit : 

Par comparaison des termes à droite et à gauche E_B=qV_B  et E_A=qV_A. est l’énergie potentielle en B puis en A :unités E_B ( J) ; q © ; V_B(V) 

Conclusion : 
le déplacement des charges entre deux points (et donc l’apparition d’un courant électrique) est la conséquence d’une différence de potentiel (nous dirons plus souvent « une tension ») entre ces points.   

Les porteurs de charges ont tendance à suivre les lignes de champ. 

Par temps d’orage il est dangereux  de rester à proximité des objets pointus car  les lignes de champ convergent  vers les pointes. Il en résulte une concentration de porteurs de charges et un courant très intense dans celles-ci lors d’une décharge électrique. 

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2016-10-19 06:39:40 / mazoughou@magoe.gn