Un mobile est animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe, si
- Les points du solide situés sur l’axe de rotation sont immobiles.
- Et les autres points décrivent des cercles ou des arcs de cercle dans un plan perpendiculaire à l’axe et centrés sur l’axe.
- Pendant la durée Δt, tous les points du solide tourne du même angle α.
La vitesse angulaire.
Cas d’un point du solide.
Exemple :
On considère le mouvement de rotation d’une porte autour de l’axe passant par ses gonds.
On considère le mouvement d’un point M de la porte.
La trajectoire du point M est un arc de cercle de rayon R. Le mouvement du point M est circulaire.
Entre deux instants t 1 et t 2, le point M parcourt comme distance l’arc de cercle : 
Le point M décrit l’angle α.
La rélation entre l’arc de cercle 
et l’angle α est:
avec a en rad.
On peut définir la vitesse angulaire moyenne que l’on note ω m
Elle est égale au rapport entre l’angle de rotation a exprimé en rad et la durée du parcours Δt exprimée en seconde.
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Angle de rotation α exprimée en radian ; rad |
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Durée du parcours Δt exprimé en seconde : s |
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Vitesse moyenne angulaire ω m exprimée en rad / s |
La vitesse angulaire instantanée est la vitesse angulaire à un instant donné.
On l’évalue en calculant la vitesse angulaire moyenne pendant un intervalle de temps très court encadrant l’instant t considéré.
On note :
| ω (t) = | α | t 1 < t < t 2 | ||
|
|
avec |
|||
| t 2 - t 1 |
Cas du solide.
Considérons la porte : Tous les points de la porte tournent du même angle α pendant la même durée.
En conséquence tous les points de la porte ont à chaque instant la même vitesse angulaire ω (t) : c’est la vitesse angulaire du solide.
Relation entre vitesse d’un point et vitesse angulaire.
Pendant la durée Δ t = t 2 - t 1, très courte ou non, le point M parcourt la distance 
et balaie l’angle α.
La vitesse du point mobile (vitesse linéaire) : 
avec 
On tire :
| v = | R . α | α | ||
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= R . |
|
||
| t 2 - t 1 |
Δt |
|||
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v = R . ω |
||||
Cette relation est valable pour les vitesses instantanées :
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v (t) = R . ω (t) |
Vitesse angulaire ω exprimée en rad / s |
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Rayon du cercle R en m |
|
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Vitesse du point mobile v exprimée en m / s |
Remarque : tous les points du solide ont à chaque instant la même vitesse de rotation, mais ils n’ont pas généralement la même vitesse instantanée.
Le mouvement de rotation uniforme.
Un solide est en mouvement de rotation uniforme si sa vitesse angulaire est constante au cours du temps : ωm = ω (t) = ω
Exemple : La Terre est animée d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe des pôles. Ce mouvement est périodique.
La durée pour effectuer un tour est appelée période, que l’on note T.
Pour la Terre, T = 86164 s : période de rotation autour de l’axe des pôles dans le référentiel géocentrique.
En un tour, la distance parcourue par un point à la surface de la Terre, situé à l’équateur d = 2 π . R
La vitesse d’un point à la surface de la Terre situé à l’équateur :
| v E = | d | 2 . π . R | ||
|
|
= |
|
||
| T |
T |
Pour les calculs, on prend R T = 6380 km
Application numérique :
| 2 x π x 6380 x 10 3 | |||||
| v E = |
|
||||
|
86164 |
|||||
|
v E » 4,65 x 10 2 m / s |
|||||
|
v E » 1,67 x 10 3 km / h |
|||||
La vitesse angulaire de la Terre :
| ω = | 2 . π | |
|
|
||
|
T |
Application numérique :
| ω = | 2 . p | 2 . π | ||
|
|
= |
|
||
|
T |
86164 |
|||
|
ω » 7,29 x 10 5 rad / s |
||||
La fréquence du mouvement représente le nombre de période par seconde (ici le nombre de tours par seconde).
Fréquence :
| f = |
1 |
|||
|
|
||||
|
T |
Unité : Hertz (Hz) si période en seconde (s).
Application numérique :
| f = |
1 |
1 | ||
|
|
= |
|
||
|
T |
86164 |
|||
|
f » 1,16 x 10 - 5 Hz |
||||
Le centre d’inertie d’un solide.
Lorsqu’on étudie le mouvement de différents solides, dans le référentiel terrestre, on constate qu’il existe un point particulier unique.
Le mouvement de ce point particulier est plus simple que le mouvement de tous les autres points du solide.
Ce point particulier est appelé le centre d’inertie du solide. Il se note G.
Dans le cas de solides homogènes possédant un centre de symétrie, le centre d’inertie G se confond avec le centre de symétrie.
Le centre d’inertie G d’un solide rend compte de la répartition des masses du solide.
D’une manière générale le mouvement d’un solide peut se décomposer en deux mouvements particuliers :
Le mouvement de translation du centre d’inertie du solide.
Le mouvement de rotation autour du centre d’inertie du solide.
Solides de formes géométriques simples:
Dans le cas où le solide est homogène et où il présente un centre de symétrie, le centre d'inertie est confondu avec ce point.
Dynamique d'un solide en rotation
Notion de moment d'inertie
La position de centre d'inertie ne suffit pas pour déterminer les caractéristiques de mouvement d'un solide soumis à l'action des forces acquis sous l'action d'une impulsion extérieure. Le mouvement dépend aussi de la distribution des masses à l'intérieur du solide.
Pour tenir compte de l'influence de ce dernier critère dans le mouvement de rotation d'un solide on introduit une nouvelle caractéristique: le moment d'inertie.
Le mouvement d'inertie d'un système par rapport à un axe est par définition la somme du produit des parties ponctuels i par le carré de la distance de cette partie à l'axe.
Exercice d'application 1
Soit à déterminer le mouvement de deux points matériel de masse respective m1=4Kg et m2=7Kg situer à 6Cm et à 2Cm de l'axe respectivement.
J = m1R12 + m2R22 = 4(6x10-2)2 + 7(2x10-2)2
J = 1,75 x 10-2 Kgm2
Exercice d'application 2
Déterminer le moment d'inertie d'un pendule simple de longueur 15Cm et de masse 3Kg
J = ml2
J = 3(15x10-2)2
J = 6,75x10-4 Kgm2
Théorème de Huygens
Le moment d'inertie d'un système de masse M par rapport à un axe de rotation quelconque est égal à son moment d'inertie par rapport à son centre d'inertie parallèle D augmenté du produit de la masse du système par le carré de la distance qui sépare les deux axes.
JD = JG + M.d2
- M en Kg
- d en m
- JD JG en Kgm2
Loi fondamentale de la dynamique
Soit à déterminer le moment d'inertie d'une circonférence de masse M de rayon R par rapport à un axe horizontal perpendiculaire au plan de la circonférence et passant par un point A de cette circonférence
JD = JG + Mr2 or JG = Mr2
JD = Mr2 + Mr2
JD = 2Mr2
Remarque:
Pour un cerceau au circonférence pesant de masse M de rayon R. Pour un cylindre creux de masse M et de rayon R. Pour une poulie de masse M repartie sur sa circonférence de rayon R. JG=M.R2
Pour un cylindre plan de masse M et de rayon R
Pour un disque plein de masse M et de rayon R
Pour un sphère pleine de rayon R de masse M
2016-10-19 06:33:50 / mazoughou@magoe.gn
J'aime magoe c'est très important pour moi