Dans ce cours nous allons voir comment résoudre certaines inéquations du deuxième degré. Pour cela nous allons apprendre à faire et à utiliser un tableaux de signes.

Résolution d'une inéquation du deuxième degré

Une inéquation du deuxième degré est une inéquation qui contient des termes en x², des termes en x et des nombres.

Méthode

Pour résoudre une inéquation du deuxième degré :

1. On passe tous les termes à gauche de l'inégalité afin d'avoir 0 à droite.
2. On écrit l'expression de gauche sous la forme d'un produit (ou d'un quotient).
3. On fait un tableau de signes.
4. On lit les solutions sur la dernière ligne du tableau.

Nous allons apprendre à construire un tableau de signes en partant de l'exemple d'une expression déjà factorisée.
 

Tableau de signes

Exemple : résolution de l'inéquation (2x-2)(4x+16)>0.

Méthode générale

1. On étudie le signe de 2x-2 en fonction de x et celui de 4x+16 en fonction de x. On cherche pour cela pour quelles valeurs de x ces expressions sont positives.

Donc 2x-2>0 lorsque x>1 et 4x+16>0 lorsque x>-4.
Rappel : < se lit "plus petit que" et > se lit "plus grand que".
 

2. On dessine un tableau comme ci-dessous en faisant apparaître les valeurs pour lesquelles 2x-2 et 4x+16 changent de signe (-4 et 1).

3. On complète les premières lignes en inscrivant des "-" si l'expression est négative pour les valeurs de x qui figurent au dessus, des "+" si l'expression est positive, et un zéro sur la barre verticale correspondant à la valeur qui annule l'expression. Nous avons besoin des résultats de l'étape 1.

4. On remplit la dernière ligne en effectuant sur chaque colonne le produit des signes des deux expressions en respectant les règles des signes pour un produit.

5. On lit les solutions en regardant la première et la dernière ligne du tableau.

On cherchait les solutions de (2x-2)(4x+16)>0.

On voit que (2x-2)(4x+16)>0 (+) lorsque x est strictement plus petit que -4 et lorsque x est strictement plus grand que 1.

Les solutions sont donc:

Le cas des quotients

Les tableaux de signes permettent aussi de résoudre des inéquations qui font intervenir un quotient, par exemple .

On utilise la même méthode que ci-dessus mais à l'étape 4 on place une double barre sur la dernière ligne pour les valeurs de x pour lesquelles il y a une division par zéro. Comme une division par zéro est impossible il faudra systématiquement ôter ces valeurs de l'ensemble des solutions.

Exemple

Et avec encore plus de lignes!

Dernier exemple avec la résolution de l'inéquation 
On utilise toujours la même méthode.