Le nombre dérivé a été inventé pour mesurer la pente des courbes.

Le nombre dérivé d'une fonction en un point est une mesure de la pente de la courbe de cette fonction en ce point.

Le nombre dérivé permet de comparer les augmentations d'une variable à différents instants et de deviner letableau de variation d'une fonction sans connaître sa représentation graphique 

 

Exemple : lancement d'une fusée

 

Le nombre dérivé au point d'abscisse T1 est supérieur au nombre dérivé au point d'abscisse T2 car la courbe monte plus vite. L'accélération de la fusée à l'instant T1 est donc plus grande que l'accélération à l'instant T2 (bien que la vitesse soit inférieure).

 

Le nombre dérivé d'une fonction en un point d'abscisse a est d'autant plus grand que la courbe monte vite en ce point. Si la courbe descend le nombre dérivé est négatif.

 

Comprends-tu?

A ton avis, le nombre dérivé au point d'abscisse a est-il inférieur ou supérieur à celui au point d'abscisse b?

 inférieur  supérieur  

 
 

Voyons maintenant comment se calcule le nombre dérivé.


 

Calcul du nombre dérivé d'une fonction en un point

 

1. La tangente

On appelle tangente à une courbe en un point la droite qui touche la courbe en ce point en suivant la même direction que la courbe en ce point.

Comme nous savons mesurer la pente d'une droite (avec le coefficient directeur) on définit le nombre dérivé d'une fonction en un point comme le coefficient directeur de la tangente à la courbe de cette fonction en ce point.


Exemple

La droite rouge est la tangente à la courbe bleue au point d'abscisse a. Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la droite rouge.

 

2. Rappels sur le coefficient directeur

Il y a deux manières de connaître le coefficient directeur d'une droite.

• 1. Graphiquement
  On prend un point sur la droite. A partir de ce point on avance d'une unité à droite et on regarde de combien on doit monter ou descendre pour retomber sur la droite. Le nombre que l'on obtient est le coefficient directeur de la droite.
   
• 2. Par le calcul
  Si on connaît les coordonnées de deux points A et B d'une droite, le coefficient directeur de cette droite se calcule avec la formule .

 

Exemple

 

Question

Une droite passe par les points M(-10;7) et N(-19;10). Quel est, par le calcul, son coefficient directeur? 

  

 
 

3. Nombre dérivé

Comme précédemment écrit, le nombre dérivé d'une fonction f en un nombre a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Le nombre dérivé de f en a est noté f'(a).
 

 

Maintenant que nous savons lire le nombre dérivé sur un graphique, nous allons voir comment on le calcule à partir de l'expression de la fonction!
 

4. Calcul du nombre dérivé en un point

Considérons un nombre a et une fonction f dont on connaît l'expression, et cherchons une formule permettant de calculer f'(a).
 

Nous devons calculer le coefficient directeur de la droite rouge uniquement à partir de f et de a.

Pour calculer le coefficient directeur nous ne connaissons qu'une formule : .

Pour utiliser cette formule nous avons besoin des coordonnées de deux points de la droite. 
Mais nous n'avons les coordonnées que d'un seul! C'est .

Prenons donc un nombre h au hasard et introduisons le point .
 

Nous pouvons maintenant calculer le coefficient directeur de la droite (AB).

Nous obtenons un résultat mais bien sûr cette droite verte (AB) n'est pas la tangente que nous recherchions! 

Cependant nous remarquons que plus h est proche de zéro, plus la droite verte est proche de la droite rouge, et plus le nombre c(h) que nous pouvons calculer est donc proche de f'(a).

Nous allons donc "faire tendre" h vers 0 et alors c(h) va "tendre vers" f'(a).

On écrit  ce qui se lit : "limite quand h tend vers zéro de c(h) est égal à f'(a)".

Nous avons donc la formule :

 

5. Utilisation de la formule

Méthode
Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction f en un point a:

• 1. On calcule le nombre , aussi appelé taux de variation de f entre a et a+h.
• 2. On fait "tendre" h vers 0. Dans les exercices que tu auras en première, il faudra juste remplacer h par zéro dans le résultat du calcul de l'étape 1.

 

Exemple
Calcul de f'(2) avec la fonction .

1. On calcule le nombre  :

2. On remplace h par zéro. On obtient 4. Donc f'(2)=4.

 

Nous avons calculé une mesure de la pente de cette courbe au point d'abscisse 2.

 

Équation de la tangente

Pour une fonction et un point donnés, il existe une formule qui permet de déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.
 

Formule

La tangente à la courbe d'une fonction f au point d'abscisse a a toujours pour équation : 

 

 

Utilisation

Pour calculer l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction f en un point d'abscisse a.

Méthode

• 1. On calcule f(a) et f'(a).
• 2. On remplace les résultats obtenus dans la formule.
• 3. On développe et on réduit le résultat.


 

Exemple

Équation de la tangente à la courbe de  en a=2.

1. f(2)=4 et f'(2)=4.
2. On obtient y=4(x-2)+4.
3. On obtient y=4x-4.

 

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2016-10-07 20:02:46 / mazoughou@magoe.gn