Une équation du deuxième degré est une équation constituée de termes avec des x², des x et des nombres.

Exemple : 2x²+3x+4=0.

Les équations du deuxième degré permettent de résoudre de nombreux problèmes en sciences physiques, en sciences naturelles et en économie.

Ici, nous allons apprendre à résoudre des équations de la forme ax²+bx+c=0 quelque soient les nombres a, b et c.

 

Résolution d'une équation du deuxième degré

 

Considérons l'équation .
Nous allons chercher à exprimer les éventuelles solutions de cette équation en fonction des coefficients a, b et c.

Pour cela nous allons factoriser l'expression de gauche afin d'obtenir une équation produit.
 

Technique

1. On factorise par a (a≠0 car sinon ce serait une équation du premier degré que nous saurions résoudre).

2. On multiplie et on divise le terme du milieu par 2 puis on ajoute et on soustrait le nombre  afin de faire apparaître le résultat du développement de la première identité remarquable.

3. On factorise avec la première identité remarquable et on simplifie ce qui reste à droite.

Forme canonique

Pour simplifier la suite du calcul posons  ( est une lettre grecque qui se lit "delta").

On obtient  puis en appliquant la distributivité avec a :

Cette dernière expression s'appelle la forme canonique de ax²+bx+c. 
Elle permet de faire apparaître les coordonnées du sommet S de la parabole :

 

Différents cas

Maintenant nous voyons que:

• - Si  l'équation n'a pas de solution car la différence d'un nombre positif et d'un nombre strictement négatif ne peut pas être nulle.
• - Si  on obtient  d'où : .
• - Si  on factorise de nouveau, cette fois en utilisant la troisième identité remarquable.
  On fait d'abord apparaître la différence de deux carrés :  puis on factorise : . On obtient deux solutions:  et.
  
   

Méthode de résolution

Pour résoudre une équation du deuxième degré de la forme  on pourrait faire tous les calculs ci-dessus en remplaçant a, b et c par les nombres de notre équation. Pour gagner du temps nous utiliserons directement les formules ci-dessus.

1. On calcule le nombre .
2. On regarde le signe de delta.
- Si  l'équation n'a pas de solution. 
- Si  l'équation possède une solution. On la calcule avec la formule .
- Si  l'équation possède deux solutions. On les calcule avec les formules  et .

 

Exemple

Equation . 

1. On calcule delta. .
2. Comme delta est positif, il y a deux solutions :  et .

 

As-tu compris?

 

1. Combien de solutions admet l'équation

4x² + 4x -1 = 0 ?

 

  

 2. Quelles sont les solutions de l'équation

4x² + 4x -1 = 0 ?

 

Indiquez le nombre de solutions:

0    1    2

 

 

 

Inéquation du deuxième degré

Allure de la courbe f(x)=ax²+bx+c

Une fonction  se représente par une courbe appelée parabole.

Si le nombre a devant x² est positif, alors les branches sont tournées vers le haut et le sommet est en bas. Sinon c'est le contraire.
 

 

La parabole touche l'axe des abscisses autant de fois que l'équation  possède de solutions.
 

 

As-tu compris?

 

Pour cette courbe:   a<0   a>0     Δ<0   Δ=0   Δ>0

 

Méthode

Pour résoudre une inéquation du second degré, c'est à dire une inéquation de la forme ax²+bx+c<0 ou ax²+bx+c>0.

• 1. On résout l'équation ax²+bx+c=0.
• 2. On trace au brouillon l'allure de la courbe.
• 3. On lit les solutions graphiquement.

 

Exemple

Inéquation .

• 1. On résout l'équation . On obtient deux solutions: et .
• 2. a et Δ sont positifs. La courbe a donc l'allure suivante:

  

• 3. On prend les valeurs de x pour lesquelles la courbe est au dessus de l'axe des abscisses. On obtient :

  

  
  
   

Entraînement

 

Donner une solution de l'inéquation 

2x² + 7x + 4 < 0 


S=  

 

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2016-10-07 20:01:47 / mazoughou@magoe.gn