Définition

Dire qu'une suite u est géométrique signifie qu'il existe un nombre q tel que, pour tout entier naturel n, u_n+1 = q × u_n. Le nombre q est appelé la raison de la suite (u_n).
 

Autrement dit, on passe d'un terme d'une suite géométrique au terme suivant en multipliant toujours par le même nombre q.

Exemples :
1) La suite 1, 2, 4, 8, 16, 32,... est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2
2) La suite v définie pour tout n appartenant à â„• par v_n = 1/2ⁿ : 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1/2
3) Soit w la suite définie pour tout entier naturel n par w_n = 2 × 3ⁿ.
w_n+1 = 2 × 3ⁿ⁺¹ = 2 × 3ⁿ × 3 = w_n × 3
De plus w₀ = 2, donc w est la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3.

Formule explicite

Pour calculer un terme d'une suite géométrique avec la définition par récurrence, il est nécessaire de connaître le terme précédent. La propriété suivante permet de trouver une formule explicite.
Si u est une suite géométrique de raison q, alors, pour tout entier naturel n et p :

u_n = u_p × q^n-p

Illustration

En particulier, si p = 0, pour tout entier naturel n, on a :

u_n = u₀ × qⁿ

Illustration

Exemples :
1) Soit u la suite géométrique de raison q=3 et de premier terme u₀=4. Calculer u₇.

Réponse :

D'après la deuxième formule, u₇ = u₀ × q⁷ = 4 × 3⁷ = 4 × 2187 = 8748.

2) Soit v la suite géométrique de raison q=1212 telle que u₆=512. Calculer u₉.

Réponse :

D'après la première formule, u₉ = u₆ × q^9-6 = 512 × (12)3(12)3 = 512 × 1818 = 64.

Somme des termes d'une suite géométrique

I) Somme des puissances successives

Pour tout entier naturel n non nul, si q ≠ 1, on a :

Démonstration :
On écrit sur une ligne la somme des termes dans l'ordre croissant, puis sur une seconde ligne, on écrit le produit de cette somme par q et on soustrait membre à membre les deux égalités.

Donc S(1-q) = 1 - qⁿ⁺¹ et comme q ≠ 1,

.

Exemple :
S = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁸


II) Somme des termes d'une suite géométrique

Soit u une suite géométrique. La somme des n premiers termes d'une suite géométrique est égale à :

Exemple :
Soit u la suite géométrique de premier terme u₀ = 2 et de raison 3.
Calculer la somme S = u₀ + u₁ + u₂ + ... + u₆.

Réponse :