Définition

L'ensemble des nombres réels possédant une image par une fonction f est appelé ensemble de définition de la fonction f.

De façon formelle, soit f une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x pour lesquels l'image f(x) existe ou pour lesquels f(x) a un sens.

L'ensemble de définition d'une fonction f est souvent noté Df.

Exemple

Soit f la fonction de la variable réelle x définie parf(x)=2x+1. Son ensemble de définition est â„.

Exemple

Un melon coûte 22 euros pièce. On désigne par p la fonction qui associe à un nombre x le prix p(x) de x melons. L'ensemble de définition de p est â„• car on ne vend ici que des melons entiers et la formule pour la fonction p est p(x)=2x.

Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction

Méthoe

• 1er cas : L’expression de f est de la forme 
  f est définie lorsque D≠0 (on ne peut pas diviser par zéro)
• 2ème cas : L’expression de f est de la forme
  f est définie lorsque R >= 0 (la racine carrée n’existe que pour des nombres positifs ou nuls)
• 3ème cas : L’expression de f est de la forme 
  f est définie lorsque R>0 (c’est une combinaison des 2 cas précédents…)

 
Dans les autres cas étudiés en seconde et en première, les fonctions sont en général définies sur R, c’est à dire qu’on peut calculer l’image de n’importe quel nombre réel.

Exemple 1

Donner l’ensemble de définition de la fonction 
f est définie si et seulement si le dénominateur est différent de 0.
(Attention : le numérateur, lui, peut très bien être nul, cela ne pose pas de problème ! )
Or x−3≠0 si et seulement si x≠3
Donc f est définie pour toutes les valeurs de x différentes de 3. On écrit D € ]−∞;3[∪]3;+∞[

Exemple 2

Donner l’ensemble de définition de la fonction 
f est définie si et seulement si l’expression située sous le radical est positive ou nulle.
C’est à dire, ici, si et seulement si x−1 >= 0 donc x >= 1.
L’ensemble de définition est donc D € [1;+∞[
L’intervalle est fermé en 1 car x peut prendre la valeur 1.

Exemple 3

Donner l’ensemble de définition de la fonction 
On est ici dans le troisième cas avec un radical au dénominateur.
f est définie si et seulement si l’expression située sous le radical est strictement positive.
C’est à dire, ici, si et seulement si 3x−2>0. Donc si et seulement si 3x>2, c’est à dire x > 2/3.
L’ensemble de définition est donc D € ]2/3;+∞[
L’intervalle est ouvert en 2/3 car x ne peut pas prendre la valeur 2/3.

Remarque

Parfois, un intervalle d’étude plus restreint est proposé dans l’énoncé. Par exemple :

Soit la fonction f définie sur ]3;+∞[ par 
etc.

On a vu dans l’exemple 1, que l’on pouvait définir f sur ]−∞;3[∪]3;+∞[ mais ici l’auteur du sujet a choisi de restreindre l’ensemble de définition (par exemple pour simplifier les questions qui suivent… ).
Il faut, bien entendu, suivre les indications de l’énoncé dans ce cas…