1- NOTIONS DE CINEMATIQUE

1-1 Référentiel et repère

On considère une mouche, assimilable à un point, "fixée" au plafond d'une voiture qui avance sur une route rectiligne horizontale à la vitesse constante V = 20 m/s.

Par rapport au solide Terre la trajectoire de la mouche est une droite . Par rapport à la Terre, le vecteur vitesse  de la mouche est constant, sa norme a pour valeur V = 20 m/s.

Par rapport au solide voiture la trajectoire de la mouche est un point immobile. Par rapport au solide voiture la vitesse de la mouche est V ' = 0 m / s puisqu'elle reste "fixée" au plafond.

Cet exemple montre qu'il faut toujours préciser le référentiel par rapport auquel on étudie le mouvement d'un mobile.

Remarque : Si la mouche se met à voler dans la voiture, son mouvement par rapport au référentiel "Terre" sera très différent de son mouvement par rapport au référentiel "voiture".

Un référentiel est un solide. Il est déterminé par la donnée de quatre points non coplanaires. (1)

On prend souvent comme référentiel le solide Terre.

On peut également être amené à prendre un "solide" moins concret :

Le référentiel Géocentrique (solide "construit" à partir des centres de la Terre et de trois étoiles, les 4 points n'étant pas dans un même plan)est utilisé pour étudier le mouvement des satellites terrestres.

Le référentiel Héliocentrique (solide "construit" à partir des centres du soleil et de trois autres étoiles, les 4 points n'étant pas coplanaires)est utilisé pour étudier les voyages interplanétaires (Terre ® Mars par exemple) ou pour étudier le mouvement des planètes autour du Soleil.

Dans beaucoup d'exercices de terminale S, on utilisera le référentiel terrestre.

Un repère d'espace orthonormé, lié à un référentiel, est un système d'axes orthogonaux et normés, muni d'une origine O. (2)

Dans ce repère, on peut exprimer les coordonnées du mobile ponctuel étudié.

Dans un référentiel, il est possible de tracer une infinité de repères orthonormés différents . On choisit celui qui est le mieux adapté au problème posé. (3)

L'étude du mouvement d'un mobile nécessite non seulement le choix d'un référentiel auquel on associe un repère mais encore le choix d'unehorloge permettant de mesurer le temps. (4)

1-2 Trajectoire d'un mobile ponctuel

Dans un référentiel donné, la trajectoire d'un mobile ponctuel est formée par l'ensemble des positions successives occupées par le mobile au cours du temps. (5)

1-3 Vecteur position d'un mobile ponctuel

Dans le repère orthonormé , lié au référentiel d'étude, la position d'un mobile ponctuel est, à l'instant t, donnée par le vecteur position :

(t) = x (t) + y (t) + z (t)  (6)

A cet instant t, le mobile se trouve à une certaine distance de l'origine O du repère donnée par :

(7)

1-4 Vecteur vitesse moyenne d'un mobile ponctuel

Si, dans un référentiel donné, entre les dates t et t', le mobile se déplace de M en M', alors le vecteur vitesse moyenne entre ces deux dates est :

(8)

1-5 Vecteur vitesse instantanée d'un mobile ponctuel

Si, dans un référentiel donné, les dates t et t' figurant dans l'expression précédente se rapprochent de plus en plus, on montre, en mathématiques, que la limite du vecteur vitesse moyenne est la dérivée par rapport au temps du vecteur position . Cette limite est le vecteur vitesse instantanée (à l'instant t) du mobile ponctuel :

(9)

• le point d'application de  est le point M où se trouve le mobile ponctuel à cet instant. (10)
• la direction de  est celle de la tangente en M à la trajectoire suivie par le point étudié. (11)
• le sens de  est celui du mouvement. (12)
• la longueur de  représente, à une échelle donnée, la norme du vecteur vitesse à cet instant. (13)

Les coordonnées de  dans le repère orthonormé , sont données ci-dessous.

La vitesse s'exprime en m / s dans le système international d'unités. (14)

1-6 Vecteur accélération d'un mobile ponctuel

Dans un référentiel donné le vecteur vitesse d'un mobile ponctuel peut changer de valeur et (ou) de direction. Ce changement éventuel peut se faire plus ou moins rapidement.

Par définition, on appelle vecteur accélération instantanée  du mobile ponctuel la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse  :

(15)

le point d'application de  est le point M où se trouve le mobile ponctuel à cet instant. (16)

le vecteur  est dirigée vers "l'intérieur" de la trajectoire. (17)

la longueur de  représente, à une échelle donnée, la norme du vecteur accélération à cet instant. (18)

Les coordonnées de  dans le repère orthonormé , sont données ci-dessous.

L'accélération s'exprime en m / s² dans le système international d'unités. (19)

Remarque : Insistons sur le fait que si le vecteur garde la même norme mais change de direction, il y a déjà un vecteur accélération. (20)

C'est le cas, notamment, des mouvements circulaires uniformes étudiés ci-dessous.

1-7 Coordonnées des vecteurs position, vitesse et accélération dans un repère orthonormé

Dans le repère  , lié au référentiel d'étude, les coordonnées des vecteurs position , vitesse et accélération d'un mobile ponctuel sont :

(21)

1-8 Cas d'un mobile non ponctuel

Dans le cas d'un mobile non ponctuel (un solide, par exemple), chaque point possède sa propre trajectoire, sa propre vitesse, sa propre accélération. (22)

En classe terminale, on se limite souvent à des systèmes de dimensions très faibles par rapport à leurs déplacements. On assimile un tel système à un mobile ponctuel qui contient toute la masse m. (23)

2- EXEMPLES DE MOUVEMENTS RECTILIGNES ET DE MOUVEMENTS CIRCULAIRES

2-1 Vecteur position - Vecteur vitesse - Vecteur accélération dans un repère orthonormé plan 

• Vecteur position :  = x  + y  (24)
• Vecteur vitesse :  (25)
• Vecteur accélération : (26)

(27) 

• Si   > 0 alors le mouvement est accéléré. (28)
• Si   < 0 alors le mouvement est retardé. (29)
• Si   = 0 alors le mouvement est uniforme (la valeur de la vitesse est constante). (30)

2-2 Vitesse et accélération dans la base de Frenet

Base de Frenet

Cette base est constituée de deux vecteurs  et .

(31)

Le vecteur unitaire  est tangent à la trajectoire, au point M où se trouve le mobile. Ce vecteur est orienté arbitrairement (pas nécessairement dans le sens du mouvement). (32)

Le vecteur unitaire  est normal à la trajectoire. Il est orienté vers l'intérieur de la courbe. (33)

Vitesse et accélération (base de Frenet)

= V  (34)

est tangent à la trajectoire. (35)

(36)

est dirigé vers l'intérieur de la trajectoire (37)

a_T =  est la valeur de l'accélération tangentielle mesurée sur l'axe . Elle peut être positive, négative ou nulle. (38)

a_N =  est la valeur de l'accélération normale mesurée sur l'axe . Elle peut être positive ou nulle. (39)

Exemple :

(40)

2-3 Mouvement rectiligne uniforme (à vitesse constante)

• Position : x = v_o t + x_o ( x_o et v_o sont des constantes ). (41)
• Vitesse : v = v_o (constante).On l'obtient en dérivant x = v_o t + x_o par rapport à t. (42)
• Accélération : a = o On l'obtient en dérivant v par rapport à t. (43)

2-4 Mouvement rectiligne uniformément varié (à accélération constante)

Equations horaires.

Equations complètes	Equations simplifiées
· Position : x =  a 0 t² + v 0 t + x 0(44)	x =  a 0 t²(45)
· Vitesse : v = a 0 t + v 0 (46)	v = a 0 t (47)
· Accélération : a = a 0 (48)	a = a 0  (49)

x_o, v_o et a_o sont des constantes. (50)

Il est facile de préciser les conditions qui permettent d’utiliser les équations simplifiées : à la date t = 0, le mobile part de l'origine de l'axe (x ₀ = 0 m) avec une vitesse nulle (v ₀ = 0 m/s). (51)

Théorème 1 :

v₂² – v₁² = 2 a ( x₂ – x₁ ). Cette relation caractérise un mouvement rectiligne à accélération constante (mouvement rectiligne uniformément varié).  (52)

Théorème 2 :

Lors d’un mouvement rectiligne uniformément varié les espaces parcourus pendant des intervalles de temps successifs égaux à  forment une progression arithmétique de raison r = a ².  (53)

2-5 Mouvement circulaire uniforme (vitesse constante en norme mais pas en direction)

Position du mobile M. 

  (54)

On repère la position de M :

par l'angle  = (  ,  ) (  en radian )  (55)

ou par l'abscisse curviligne s =  = R  ( s et R en mètre ) (56)

Equations horaires pour le mouvement circulaire uniforme.

 

s =  = R  (57)	= (  ,  )  (58)
s = vo t + so  (59)	= o t + o  (60)
v = ds / dt = v o  (61)	d  / dt =  = o  vitesse angulaire ( rad / s )  (62)
a T = o (63) et  a N = v 2 / R (64)	d2  / dt2 = 0  accélération angulaire ( rad / s2 )  (65)

 

Dans le repère de Frenet :

= v _o   (66)    = 0  + (v _o² / R)  = (v _o² / R)   (67)

Résumé pour le mouvement circulaire uniforme (vitesse constante en valeur mais pas en direction)  

Dans un mouvement circulaire uniforme :

• Le vecteur vitesse est tangent au cercle avec comme valeur v = R . (68) (Le vecteur vitesse est constant en norme mais pas en direction, il y a donc un vecteur accélération).
• Le vecteur accélération est centripète avec comme norme a _N = v ² / R. (69)
• La période est T = 2 p /   (durée d'un tour)  (70)
• La fréquence est N = 1 / T  (nombre de tours par unité de temps)  (71)

2-6 Mouvement circulaire non uniforme (la vitesse varie en norme et en direction)

Mouvement circulaire non uniforme (la vitesse varie)

Dans un mouvement circulaire non uniforme :

• Le vecteur vitesse tangent au cercle a pour valeur v = R . (72)
• Le vecteur accélération a 2 composantes :
  • a_T =  est l'accélération tangentielle mesurée sur l'axe  . (73). Elle peut être positive, négative ou nulle quand v est constant.
  • a_N =  est accélération normale mesurée sur l'axe .  (74). Elle peut être positive ou nulle quand v s'annule.

(75)

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2016-09-18 06:55:10