1- TRIGONOMETRIE

Définition des lignes trigonométriques

Considérons le triangle ABC rectangle en B. Désignons par a la mesure de l'angle de sommet A.

 (1)

AC est l'hypoténuse. AB est le coté adjacent à l'angle a. BC est le coté opposé à l'angle a.

Le cosinus, le sinus et le tangente de l'angle a sont définis par :

On définit de la même façon cos b, sin b, tan b, b étant la mesure de l'angle de sommet C :

  

·cos ( 90° - a ) = sin a  (9) sin ( 90° - a ) = cos a  (10)

·Rappel : Dans le triangle rectangle ABC, le théorème de Pythagore s'écrit AC² = AB² + BC²  (11)

Cercle trigonométrique :

2- ANGLE ORIENTE

On suppose le plan orienté, c'est-à-dire que l'on a choisi le sens trigonométrique comme sens de parcours positif sur tous les cercles du plan.

Tout couple ordonné (,) de vecteurs non nuls détermine un angle orienté.

Si a est une mesure de l'angle orienté des vecteurs non nuls  et  alors l'ensemble de ses mesures est :

(,) = a + 2 k p en radian, k appartenant à Z.  (12)

On appelle mesure principale d'un angle orienté, celle qui appartient à l'intervalle ]- p; p ] en radian, ou ]- 180°; 180°] en degrés.

Exemples : On suppose le plan orienté (sens trigonométrique). Déterminons la mesure principale de l'angle orienté formé par chacune des forces avec le vecteur déplacement.

   (13)

 
3- PRODUIT SCALAIRE  .  DE DEUX VECTEURS

Définition du produit scalaire de 2 vecteurs :

.  =  .  . cos (,  )  (14) . On obtient un scalaire.

Propriété 1

Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif :

.  =  .  =  .  . cos (,)  (15)

Propriété 2

On montre que l'on a aussi :

.  = F_x L_x + F_y L_y  (16)

4- COORDONNEES D’UN VECTEUR DANS UNE BASE ORTHONORMEE

4-1 COORDONNEES

Les coordonnées du vecteur  dans la base orthonormé  sont :

 (17)

Remarque : Souvent on pose  et on écrit :

 (18)

Exemple : On donne la norme du vecteursoit : F = 12 N. Calculons les coordonnées de dans la base orthonormé ci-dessous..

Sur la figure, on lit (, ) = - 60° qui équivaut à (, ) = + 60°.

Chaque angle se lit à un multiple près de 360°. On peut aussi écrire ( , ) = + 300°.

Les angles - 60° et + 300° ont les mêmes valeurs de sinus, de cosinus et de tangente.

De mëme, on peut exprimer l'angle (,) = - 150° ou (,) = + 210°.

On en déduit les coordonnées du vecteur :

 (19)

5- DERIVEES

Fonctions	Dérivées premières	Dérivées secondes
y = a t 3+ b t 2 + c t + d  (26)	dy / dt = 3 a t 2 + 2 b t + c	d ² y / dt ² = 6 a t + 2 b
y = cos t  (27)	dy / dt = - sin t	d ² y / dt ² = - cos t
y = sin t  (28)	dy / dt = cos t	d ² y / dt ² = - sin t
y = a.cos ( w t + f )  (29)	dy / dt t = - a.w .sin ( w t + f )	d ² y / dt ² = - a.w ².cos ( w t + f )
y = a.sin ( w t + f )  (30)	dy / dt = a.w .cos ( w t + f )	d ² y / dt ² = - a.w ².sin ( w t + f )

Notation parfois employée pour les dérivées :

dy / dx = y ' si la variable est x et dy / dt =  si la variable est t.

d ² y / dx ² = y '' et  d ² y / dt ² = 

7- DIVERS

Propriété de la tangente à une parabole

La tangente à la parabole y = a x ² au point M coupe l'axe horizontal au point I d'abscisse :

x I = x M / 2  (31)

OI = OH / 2 soit x _I = x _M / 2  (32)

Longueur d'un arc de cercle. Dénivellation

Longueur de l'arc de cercle :

= s = R q  (33) (q en radian, s et R en mètre)

Dénivellation entre A et B :

La figure ci-dessus montre que :

cos q = CO / OB = CO / R qui s'écrit : CO = R.cos q

La dénivellation entre les ponts A et B est :

h = AC = AO - CO = R - R.cos q = R ( 1 - cos q )  (34) ( h et R en mètre)

Translation rectiligne et rotation

Rotation de la poulie et déplacement du solide S.

Lorsque la poulie tourne d'un angle q autour de l'axe fixe par rapport à la terre, le solide S descend du point O au point M, avec :

x = OM = R q  (35) (q en radian, x et R en mètre)

x et R s'expriment en mètre. L'angle q s'exprime en radian.

Vitesse angulaire de la poulie et vitesse du solide S.

La poulie a une vitesse angulaire :

w = dq / dt =  (36) (q en radian, t en seconde et w en radian / seconde)

Le solide S possède, lui, une vitesse V obtenue en calculant la dérivée de x par rapport à t :

V = dx / dt = R dq / dt

= R 

V = R w  (37) (R en mètre, w en radian / seconde et V en mètre / seconde)

La vitesse V du solide s'exprime en m / s alors que la vitesse angulaire w de la poulie s'exprime en rad / s.

Accélération angulaire de la poulie et accélération du solide S.

La poulie a une accélération angulaire :

= dw / dt  (38)  (dw en radian / seconde, dt en seconde et  en radian / seconde²)

Le solide S possède une accélération "a" obtenue en calculant la dérivée de V par rapport à t :

a = dV / dt = d²x / dt² = R d²q / dt² soit :

a =  =  = R   (39) (R en mètre,  en radian / seconde² et a =  =  en mètre / seconde² )

L'accélération " a " du solide s'exprime en m / s² alors que l'accélération  de la poulie s'exprime en rad / s².

 

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2016-09-10 07:08:06 / mazoughou@magoe.gn